幾個同余恒等式的群論證明

潘俊堯　袁俊麗

【摘要】 同余關系是研究數論問題的基本出發點，本文應用群論中的sylow定理及特殊群的素數冪階子群的個數定理得到幾個同余恒等式，為初等數論及組合數學同余問題的研究提供新的思路.

【關鍵詞】 同余關系；群論；sylow定理；同余恒等式

【資助基金】 南通大學教改課題——研究性教學方法在非師范生高等代數課程中的應用，代碼：13050992

一、引言

設有限群的階為N，設N=n·pm，其中p是N的素因子，且n和p未必互素.由群論中的sylow定理可知同余關系：

CpmN≡n（pm）·n（modnp）. （1）

對任何群恒成立，其中CpaN表示在N=n·pn個互不相同元素中任取pm個互不同的元素的組合數，n（pm）表示G中pm階子群的個數.本文主要討論當G為循環群、初等交換p-群、二面體群等特殊群時，通過該同余關系可以得到怎樣的同余恒等式.

二、主要定理

定理1

1.定理1證明

四、結論

群論的研究角度是利用該同余關系分析群的素數冪階子群個數問題，本文則應用該同余關系結合群素數冪階子群個數的性質來研究同余恒等式，為同余恒等式的研究提供一個全新的思路.

【參考文獻】

徐明曜.有限群導引（上冊）[M].北京：科學出版社，1999.