數學新課程標準下合情推理能力的培養

張興明

【摘要】 合情推理能力是創造性思維能力的重要組成部分，數學教師應充分重視合情推理能力的培養，引導學生從多個角度形成推理能力，著重從數與代數、平面與空間、統計與概率方面來培養，從而培養和提升學生的創造性思維能力.

【關鍵詞】 類比猜想；合情推理；推理能力

數學對發展推理能力的作用，人們早已認同并深信不疑.但是，長期以來數學教學注重采用“模式化”的教學發展學生的演繹推理能力，而忽視了合情推理，許多科學結論的發現卻往往發端于對事物的觀察、比較、歸納、類比、猜想……即通過合情推理得出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤.如哥德巴赫猜想、費爾馬大定理、四色問題等的發現.其他學科的一些重大發現也是科學家通過合情推理、提出猜想、假說和假設，再經過演繹推理或實驗得到的.如牛頓通過蘋果落地而產生靈感，經過合情推理，提出萬有引力的猜想，后來通過庫侖的扭秤實驗證實.海王星的發現更是合情推理的典范.

因而關注合情推理能力的培養有助于發展學生的創新精神.數學教學中學生合情推理能力的培養，可以通過空間與圖形、數與代數、概率與統計、實踐與綜合應用等教學活動來培養.

一、在數與代數的領域中著重培養歸納推理能力

歸納推理的一般步驟是：先通過觀察個別事物發現某些相同的性質，然后從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題，并且在一般情況下，如果歸納的個別事物越多，越具有代表性，那么推廣的結論也就更可靠.

1.從數的運算到代數運算中培養歸納推理能力

“數與代數”中，計算要依據一定的規則——公式、法則、運算律等，因而計算中用推理即算理；用符號表示數量關系時，需要對數量之間的關系或變化的規律進行探索、分析、歸納和概括，即從具體的數開始，發現隱含在量與量之間的關系，并將這個關系用代數式、方程、不等式或函數表達式表示出來.在這個過程中，歸納推理顯得格外重要.

例1 （1）計算并觀察下列每組算式：

①9×9=8×10=②7×7=6×8=③13×13=12×14=

（2）已知25×25=625，那么24×26= .

（3）從上述過程，你發現了什么規律？你能用語言敘述這個規律嗎？你能用代數式表示這個規律嗎？

（4）你能證明自己得到的規律嗎？

通過設計這樣的教學過程，使學生從對具體算式的觀察比較中，通過歸納推理提出猜想，進而用數學符號來表達：a×a=b，則（a-1）×（a+1）=b-1，然后用多項式乘法法則來證明猜想的正確性.

2.從數列通項公式的求法中培養特殊到一般的歸納推理

數列通項公式的求法中我們可以先根據關系寫出數列的前n項，然后通過對這n項的觀察、分析，發現它們的共性，從而大膽猜想出一般歸律，即通項公式，再用完全歸納法加以證明，在這過程中著重體現了特殊到一般的歸納推理.

例2 在數列an，bn中，a1=2，b1=4，且an，bn ，an+1成等差數列，bn ，an+1，bn+1成等比數列，求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，bn的通項公式，并證明你的結論.

解 由條件得2bn=an+ an+1，a2n+1=bn bn+1

由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25.

通過觀察分析：a1=2=1×（1+1），a2=6=2×（2+1），a3=12=3×（3+1），b1=4=（1+1）2，b2=9=（2+1）2，b3=4=（3+1）2.

所以，由上面歸納可猜測：an=n×（n+1） bn=（n+1）2.然后再用數學歸納法證明猜測的正確性.

二、在平面與空間的領域中著重培養類比推理能力

類比推理就是先找出兩類事物之間的相似性或一致性，然后用一類事物的性質推測另一類事物的性質得出一個明確的結論.類比的基礎是觀察，類比的關鍵是聯想.由于類比是研究兩類事物或兩個問題的相似性為其推理基礎的，而兩類相似事物間可能存在某些差異性，故由類比聯想所得的結論，有時是正確的，有時是不正確的.雖然類比的結論還需證明，但它卻為我們指出了目標，提供了線索，建立了聯系，使思維有了方向，有利于我們徹底解決問題.因此，類比不但具有或然性，更具有創造性，是數學發現的重要途徑.

空間與平面的類比是一種降維或升維類比.即將空間圖形的性質、結論與相應的平面圖形的性質、結論進行類比，我們可以發現空間與平面相應圖形的許多相似性質.

平面到空間的類比：平面到空間的類比是一種升維類比，長度類比為面積，面積類比為體積，點類比為線，線類比為面，面類比為空間.

空間到平面的類比：空間與平面的類比是一種降維類比.即將空間圖形的性質、結論與相應的平面圖形的性質、結論進行類比，我們可以發現空間與平面相應圖形的許多相似性質.

三、在現實生活的統計與概率中著重培養統計推理

人們在日常生活中經常需要作出判斷和推理，尤其是在進行統計工作和分析概率性（可行性）等問題時，都要進行統計推理，統計中的推理是合情推理，是一種是否可行性的推理，與其他推理不同的是，由統計推理得到的結論無法用演繹推理的方法去檢驗，只有靠生活實踐來加以證實.

例如：為籌備畢業聯歡晚會，準備什么樣的節目才能最受歡迎？首先應由學生對全班同學喜歡什么樣的節目進行調查，然后把調查所得到的結果整理成數據，并進行比較，再根據處理后的數據作出決策，確定應該準備什么節目.這個過程是合情推理，其結果只能使絕大多數同學滿意.

許多游戲活動也隱含著推理的要求.所以，要進一步拓寬發展學生推理能力的渠道，使學生感受到生活、活動中有“學習”，養成善于觀察、勤于思考的習慣.