基于Excel的層次分析法模型設計

基于Excel的層次分析法模型設計

潘麗娟

（東北財經大學職業技術學院，遼寧 大連 116023）

[摘 要] 層次分析法是美國學者T.L.Satty于20世紀70年代提出了以定性與定量相結合，系統化、層次化分析解決問題的方法，簡稱AHP。用手工計算的層次分析法算法具有構造判斷矩陣繁雜、計算繁多重復且容易出錯、一致性調整比較麻煩等缺點。本文利用微軟Excel電子表格強大的函數運算功能，建立了簡明易懂的層次分析法模型，使判斷矩陣的構造、層次單排序和層次總排序的計算以及一致性檢驗和檢驗之后對判斷矩陣的調整變得十分簡單。

[關鍵詞] Excel；層次分析法；模型

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 17. 071

[中圖分類號] TP391 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2014）17- 0115- 03

1 層次分析法的基本原理

層次分析法是美國的運籌學家匹茲堡大學教授T.L.Satty（薩蒂）于20世紀70年代初為美國國防部研究“根據各個工業部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配”課題時，應用網絡系統理論和多目標綜合評價法，提出的一種層次權重決策分析方法（Analytic Hierarchy Process，AHP）。 該方法于1982年引入中國。

層次分析法是指將一個復雜的多目標決策問題作為一個系統，將目標分解為多個目標或準則，進而分解為多指標或多準則的若干層次，通過定性指標模糊量化方法算出層次單排序和總排序，是多指標、多方案優化決策的系統方法。它主要是將人們的思維過程層次化，逐層比較其間的相關因素并逐層檢驗比較結果是否合理，從而為分析決策提供較具說服力的定量依據。層次分析法不僅可用于確定評價指標的權重，而且還可用于直接評價決策問題，對研究對象排序，實施評價排序的評價內容。其優點是既采用具有適應環境靈活性的“相對標度”，同時又充分利用了專家的經驗和判斷，并能對誤差作出估計，能較好地解決公共決策系統中的問題。其缺點就是對目標準則難以保證互斥性和完備性。

用AHP分析問題大體要經過以下5個步驟：

1.1 明確問題

在分析社會、經濟以及科學管理等領域的問題時，首先要對問題有明確的認識，弄清問題的范圍，了解問題所包含的因素，確定出因素之間的關聯關系和隸屬關系。

1.2 建立層次結構模型

根據對問題的分析和了解，將問題所包含的因素，按照是否共有某些特征進行歸納成組，并將其共同特性看成是系統中新的層次中的一些因素，而這些因素本身也按照另外的特征再進行分組，并將其共同特性看成是更高層次的因素，直到最終成為單一的最高層次因素。

同一層各因素從屬于上一層因素，或對上一層因素有影響，同時又支配下一層因素或受到下層因素的影響，而層內各因素基本上相對獨立。

最上層為目標層（一般只有一個因素），最下層為方案層或對象層/決策層，中間可以有一個或幾個層次，通常為準則層或指標層 。即目標層O—準則層C—方案層P。

當準則層因素過多（例如多于9個） 時，應進一步分出子準則層。

注意：建立一個好的層次結構對于解決問題極為重要。層次結構模型如圖1所示。

1.3 構造判斷矩陣進行一致性檢驗

（1）構造判斷矩陣。

設某層有n個元素：X={x1，x2，x3，…，xn}，要比較它們對上一層某一準則（或目標）的影響程度，確定在該層中相對于某一準則所占的比重（即把n個因素對上層某一目標的影響程度排序）。上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取1～9尺度（見表1）。

用aij表示第i個因素相對于第j個因素的比較結果，則

A=（aij）n×n=a11 a12 … a1na21 a22 … a2n an1 an2 … ann

A則稱為成對比較矩陣。

如果數值為2，4，6，8，表示第i個因素相對于第j個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。

倒數：若j因素和i因素比較，得到的判斷值為aji = ■。

（2）用和積法或方根法等求得特征向量 W（向量 W 的分量 Wi 即為層次單排序）并計算最大特征根λmax。

（3）計算一致性指標 CI、RI、CR 并判斷是否具有滿意的一致性。

其中CI=■

平均隨機一致性指標 RI 的數值見表2。

CR=CI/RI，一般當一致性比率CR<0.1時，認為A的不一致程度在容許范圍之內，可用其歸一化特征向量作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣，對A加以調整。

（4）一致性檢驗：

①對每個成對比較陣，計算其最大特征根λmax和特征向量（和法、根法、冪法等）■=W1Wn。

②利用一致性指標CI（Consistency Index）、隨機一致性指標RI和一致性比率CR=■做一致性檢驗。

③若通過檢驗，即CR<0.1，則將上層計算出的特征向量■=W1Wn歸一化后作為Bj到Aj的權向量，即單排序權向量。

④若CR<0.1不成立，則需重新調整成對比較陣，直至符合一致性檢驗。

1.4 層次單排序及一致性檢驗

計算出本層次所有各因素相對于上一層次中某一因素的相對重要性，這種排序計算稱為層次單排序。其本質就是計算判斷矩陣的最大特征向量，最常用的方法是和法和方根法。

1.5 層次總排序（見表3）

上面我們得到的是一組元素對其上層中某元素的權重向量。我們最終要得到各元素，特別是最低層中各方案對于目標的排序權重——層次總排序，從而進行方案選擇。

總排序權重要自上而下地將單準則下的權重進行合成。具體方法如下：

設上一層（A層）包含A1，A2，…，Am共m個因素，它們的層次總排序權重分別為a1，a2，…，am。又設其后的下一層（B層）包含n個元素B1，B2，…，Bn，其關于Aj的層次單排序權重分別為b1j，b2j，…，bnj（當Bi與Aj無關聯時，bij=0）。現求B層中各因素關于總目標的權重，即求B層各因素的層次總排序的權重b1，b2，…，bn，計算按表3所示方式進行，即bi=■bijaj，i=1，…，n。

對層次總排序也需作一致性檢驗。檢驗仍像層次總排序那樣由高層到低層逐層進行。這是因為雖然各層均已通過層次單排序的一致性檢驗，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性，但當綜合考查時，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結果較為嚴重的非一致性。具體方法如下：

設B層中與Aj相關的因素的成對比較判斷陣在單排序中經一致性檢驗，求得單排序一致性指標為CI（j），（j=1，2，…，n）相應的平均隨機一致性指標為RI（j）（CI（j），RI（j）已在層次單排序時求得），則B層總排序一致性比率為

CR=■

當CR<0.1時，認為層次總排序結果具有較滿意的一致性并接受該分析結果。

2 層次分析法 Excel 模型設計過程

案例：某人欲到蘇州、杭州、桂林三地旅游，選擇要考慮的因素包括4個方面：景色、費用、居住和飲食，用層次分析法選一個適合自己情況的旅游點。

2.1 建立層次結構模型

根據題意可以建立層次結構模型（如圖1所示）。

2.2 Excel實現過程

（1）將準則層的各因素對目標層的影響兩兩比較結果輸入Excel表格中，進行單排序及一致性檢驗，如圖2所示。

（3）層次總排序，由于蘇州數值最高，故選擇的旅游地為蘇州，如圖4所示。

其中，C44=K14，G44=■C■43*C44，H48={SUM（■C■43：■F■43*C48：F48）}，注意：這是一個數組函數需按Ctrl+Shift+Enter三鍵確定。

3 基于Excel的層次分析法模型設計的優勢

（1）用 Excel 進行層次分析，它以廣泛使用的辦公軟件 Excel 作為運算平臺，無需掌握編程方法和代碼，具有很好的推廣應用價值。

（2）用 Excel 進行層次分析，其計算步驟設計環環相扣，步驟設計完畢后，可以按需要填充或變更，其余數據和結果均可以在填充或變更判斷矩陣之后立即得出，使得整個運算過程簡捷、輕松。另外，相似的矩陣區和計算區可以通過復制完成，只需改動少量單元格即可。

（3）用 Excel 進行層次分析，將一致性檢驗也同時計算出來，決策者和判斷者可以即時知道自己的判斷是否具有滿意的一致性，可以隨時簡單地進行調整直到符合一致性要求。

（4）如果一致性指標不能令人滿意，用本方法可以比較容易地實現對判斷矩陣的調整，可以實現對判斷的“微調”，而不必進行繁復的運算。