例析實際問題中的最優化幾何模型

戴小駒

【摘要】幾何應用型問題圖文并茂，貼近生活實際，頗引人注目，而幾何最優化問題又是其中的一朵奇葩.這類問題涉及的知識面廣，需要學生具有扎實的幾何知識基礎，同時要有較強的分析能力和一定的生活經驗.學生解這類題，往往有一定的困難.本文通過剖析典型例題，介紹怎樣從實際問題背景看問題的實質，抓住圖形的幾何性質，獲取最優化解決問題的信息，從而探求解決問題的最優化途徑和方法.

【關鍵詞】幾何；模型；數學

一、有關站址的選取問題

例1如圖1，某汽車公司所營運的公路AB段有四個車站，依次為A，C，D，B，且AC=CD=DB.現想在AB段建一個加油站M，要求使A，B，C，D站的各一輛汽車到加油站M所花費的總時間最少，試找出M的位置.

圖1

分析本題實際上是在線段AB間找一點M，使S=AM+CM+DM+BM最小.可就M在AC間、CD間（含C，D）、DB間三種情況分別求出S，再進行比較，找出符合要求的M點.

解若加油站選在AC間，設為M′，則S1=（AM′+BM′）+（CM′+DM′）=AB+CD+2CM′.

若加油站選在CD間（包括C，D），設為M″，則S2=（AM″+BM″）+（CM″+DM″）=AB+CD.

若加油站選在DB間，設為M，則S3=AB+CD+2DM，

可見S1，S2，S3中S2最小，并且S2是一個固定的值.所以加油站M選在CD段（包括C，D）任一點均可.

說明此題通過分類討論并加以計算比較的代數方法解決了幾何的最優選址問題.

例2長江的同側有A，B兩個工廠，它們有垂直于江邊的小路，長度分別為m千米和n千米.設兩條小路相距l千米.現在要在江邊建一個抽水站，把水送到A，B兩廠去，欲使供水管線最短，抽水站應建在哪里？