變式探索三角問題一例

季建偉

三角板塊是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，其以角度為自變量的函數(shù)觀念顛覆了傳統(tǒng)的函數(shù)認(rèn)知.本文以一道三角問題為題根出發(fā)，進(jìn)行變式探究和三角問題本質(zhì)的追問，以典型的問題展開，使學(xué)生對三角問題的解決有更深的認(rèn)知和了解.

1.題根

問題：在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知b2-c2=a2-ac.

（1）求B的值；（2）若b=23，求sinA+sinC的取值范圍.

分析這是一個(gè)關(guān)于解三角形的問題，是高考三角函數(shù)的一大考查題型，主要根據(jù)三角形的特征，考查正弦定理、余弦定理以及三角形有關(guān)面積問題的應(yīng)用等.掌握好這一題型，是決勝高考的一大保障.解（1）略.下面根據(jù)對第二問的理解，結(jié)合正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，作如下解法探析：解三角形是三角函數(shù)的一大主要組成部分，其與圖像、性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了三角函數(shù)的統(tǒng)一性.通過對上述結(jié)論的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)角B確定，盡管A，C都不確定，但A+C是定值，C可以隨著角A的變化而變化，那么sinA+sinC可以表示成關(guān)于角A的函數(shù)關(guān)系式，利用角A的范圍求范圍即可.

解析由（1）知B=π3.∵A+C=2π3，∴C=2π3-A.∴0

∴sinA+sinC=sinA+sin2π3-A=32sinA+32cosA=3sinA+π6.

∵0

當(dāng)A=0或A=2π3時(shí)，sinA+sinC=32，此時(shí)為最小值，∴32

說明：利用三角形三內(nèi)角之間的關(guān)系，通過三角函數(shù)兩角和與差公式以及輔助角公式，將所求結(jié)論轉(zhuǎn)化為與角A有關(guān)的msin（ωA+φ）的形式，通過整體代換的方式，利用角A的范圍根據(jù)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)求范圍，這是我們處理有關(guān)三角函數(shù)問題所經(jīng)常采用的一種方法.這體現(xiàn)了三角函數(shù)圖像與性質(zhì)和解三角形的有機(jī)的統(tǒng)一.

2.變式探究

對于試題的第二問，筆者認(rèn)為上述問題對于三角形的敘述沒有作任何的限制，因此在解答過程中可以充分利用“三角形兩邊之和大于第三邊”這一性質(zhì)來判定取值的下限.如果對該三角形進(jìn)行限制時(shí)，那會有怎樣的效果呢？