基于實數理論的線性空間拓撲性質的比較

吳亞敏

【摘要】本文通過總結比較R，Rn和R∞三個實線性空間的基本性質、連續映射性質和線性系統可解性質，簡述線性空間的拓撲性質與其維數緊密相關，進一步加強對無限維線性空間拓撲性質的認識.

【關鍵詞】完備性；可分性；致密性；緊性；閉集套性質；連續映射性質

一、實數空間R

1基本性質

（1）完備性：R的每個Cauchy列都有極限.

（2）可分性：R以可數的有理數集為稠密子集.

（3）致密性或列緊性：任何有界序列必有收斂子列.

（4）緊性：有界閉集的任何開覆蓋都有有限的子覆蓋.

（5）閉區間套性質：單調減少閉區間簇＼[an，bn＼]的交集非空.

2連續映射性質

（1）線性函數表示：函數f（x）為線性的充要條件是存在常數a使f（x）=ax.

（2）最值定理：連續函數在有界閉區間（閉集）上必取得最大值最小值.

（3）一致連續性質：連續函數在有界閉區間（閉集）上是一致連續函數.

（4）連續函數性質：開區間、閉區間（開集、閉集）上連續函數的原象分別是開區間、閉區間（開集、閉集）.

（5）凸函數定理：區間上的凸函數一定是連續函數.

（6）凸函數性質定理：可微函數是凸函數的充要條件是它的導函數是單調函數.

3線性系統可解性質

（1）線性系統x′（t）=ax（t）+bu（t），t≥0的解為x（t）=eat+∫t0ea（t-r）bu（r）dr，t≥0.

（2）線性系統x′（t）=ax（t），t≥0零解穩定的必要條件是a≤0.

（3）線性系統x′（t）=ax（t），t≥0零解漸近穩定（指數穩定）的充分必要條件是a<0.

（4）函數T（t），t≥0是指數函數的充分必要條件是：

a）T（0）=1，T（T+S）=T（t）T（s）；

b）T（t）在[0，+∞）上連續.

二、n維歐氏空間Rn

1基本性質

（1）完備性：分量的每個Cauchy列都有極限.

（2）可分性：分量以可數的有理數點集為稠密子集.

（3）致密性或列緊性：分量的每個任何有界序列必有收斂子列.

（4）緊性：分量的每個有界閉集的任何開覆蓋都有有限的子覆蓋.

（5）閉集套性質：分量的每個單調減少閉集簇＼[an，bn＼]的交集非空.

2連續映射性質

（1）線性函數表示：映射F：Rn到R為線性的充要條件是存在常數a使f（x）=（a，x），其中（a，x）為內積；映射F：Rn到Rm為線性的充要條件是存在m×n階矩陣A使F（x）=Ax.

（2）最值定理：連續函數在有界閉集上必取得最大值最小值.

（3）一致連續性質：連續函數在有界閉集上是一致連續函數.

（4）連續函數性質：開集（閉集）上連續函數的原象是開集（閉集）.

（5）凸函數定理：開集上的凸函數一定是連續函數.

（6）凸函數性質定理：可微函數是凸函數的充要條件是它的導函數是單調函數.