可測函數序列的三種收斂及之間的關系

張勛塵　強國艷

一、可測函數列的三種收斂定義

設（Ω，μ，E）為一測度空間，{fn}n≥1，f均為實值函數.

（1）如果存在一零測集N，使得ω∈Nc有limn→∞fn（ω）=f（ω），則稱{fn}幾乎處處收斂于f（或a.e.收斂于f），記為limn→∞fn=fa.e.，或fna.e.f.

（2）如果對任給的ε>0，存在N∈E，μ（N）<ε，使得{fn}在Nc上一致收斂于f，則稱{fn}幾乎一致收斂于f，并記為limn→∞fn=fa.un.，或fna.un.f.

（3）如果對任給的ε>0，limn→∞μ（[fn-f>ε]）=0，則稱{fn}依測度收斂于f，并記為fnμf.

二、三種收斂之間的關系

如圖所示：