∞點處留數的計算與有限點的差異

岳紅云 劉宏超

【摘要】作為擴充復平面上唯一的無窮遠點，與有限點在孤立奇點類型的判定與留數的計算中存在什么差異？如何理解這種差異，本文將給出解答.

【關鍵詞】無窮遠點；留數；有限點

一、前言

留數定理是復變函數積分理論的重要內容，由留數定理可知

∮Cf（z）dz=2πi∑nk=1Res[f（z），zk]，

其中z1，z2，…，zn為C內f（z）的孤立奇點，C為一條正向簡單閉曲線，其中

Res[f（z），zk]=C-1k，

C-1k為f（z）在以zk為中心的圓環域：0<|z-zk|<δ內的洛朗展式中1z-zk的系數.特別的，

Res[f（z），zk]=0，

若zk為f（z）的可去奇點或解析點，這是因為其洛朗展式不含負冪項，故C-1=0，即留數為零.

當我們發現函數f（z）在閉曲線C內奇點較多，而閉曲線C之外的奇點較少時，由擴充復平面上的留數定理可知

∑nk=1Res[f（z），zk]+Res[f（z），∞]=0，

其中z1，z2，…，zn，∞為f（z）在擴充復平面上的所有孤立奇點.

二、問題

由上述知識可見，Res[f（z），∞]的計算對閉曲線內奇點較多的復變函數的積分計算起到了重要作用，但初學者往往把∞點處留數的計算和奇點類型的判定與有限點混為一談，這就容易出錯，究其原因是沒有對二者作出深刻的比較，現在我們就對這個問題進行詳細的分析解答.

我們知道，Res[f（z），∞]的計算方法有兩種：

方法1：Res[f（z），∞]=-C-1；

方法2：Res[f（z），∞]=-Resf1z1z2，0.

顯然這與有限點處留數的計算方法是不同的，下面我們分別討論分析.

1.特別的，當∞為f（z）的可去奇點時，Res[f（z），∞]不一定為0，這與有限點作為可去奇點留數的結果是不同的，為什么呢？這是因為z=∞是f（z）的可去奇點時，通過令z=1t，相當于t=0為f1t的可去奇點，故f1t在t=0的去心鄰域0<|1z（=t）|<δ內的洛朗展式不含1z（=t）的負冪項，但可以含有1z的正冪項.即當1z的系數不為0時，由方法1，

Res[f（z），∞]=-C-1≠0.

例如，f（z）=z+1z以∞為可去奇點，但Res[f（z），∞]=-1.

當1z的系數為0時，由方法1，可得

Res[f（z），∞]=-C-1=0.

例如，f（z）=e1z2以∞為可去奇點，但Res[f（z），∞]=0.

2.除此之外，∞處留數的計算與有限點還是不同的.

將f（z）在∞的去心鄰域R<|z|<+∞進行洛朗展開，可得

f（z）=…+C-11z+C0+C1z+…，

令1z=t，則f1t在t=0的去心鄰域0<|t|<1R內解析，洛朗展式變為

f1t=…+C-1t+C0+C11t+…，

化為-1t2f1t=…-1tC-1-C01t2-C11t3+…，

由方法1，可知

Res[-1t2f1t，0]=-C-1=Res[f（z），∞].

三、結論

因此，∞作為擴充復平面（z平面）上唯一的無窮遠點對應的數，雖然可以通過代換1z=t，與擴充復平面（t平面）上唯一的原點對應的數0對應，使得函數f（z）在∞的去心鄰域R<|z|<+∞的洛朗展式與f1tφ（t）在解析區域：0的去心鄰域0<|t|<1R的洛朗展式完全相同，從而使得f（z）的奇點∞與φ（t）的奇點0的奇點類型完全一致（因為孤立奇點的類型由洛朗展式完全決定）.但它們留數的求法卻迥異，原因很簡單，它們都是為了尋求C-1，但Res[f（z），∞]尋求1z的系數C-1，而Res[φ（t），0]尋求1t的系數C-1，雖然有f（z）=φ（t），但Res[f（z），∞]≠Res[φ（t），0]，由∞處留數的計算方法1可知，方法2成立.

注：∞作為作為擴充復平面上（z平面）唯一的無窮遠點對應的數，認為是所有函數的奇點.

【參考文獻】

＼[1＼]劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義.北京：高等教育出版社，1993.

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