分塊初等矩陣及應(yīng)用

王蕾

【摘要】由于矩陣分塊運(yùn)算在線性代數(shù)中有重要作用，文章討論了由分塊初等矩陣給出的分塊矩陣初等變換及其在矩陣的行列式、矩陣求逆及特征多項(xiàng)式方面的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】分塊矩陣；分塊初等矩陣；初等變換

1.分塊初等矩陣和分塊矩陣的初等變換

矩陣的分塊是處理階數(shù)較高矩陣時(shí)常用的方法，分塊矩陣有相應(yīng)的加法、乘法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算的定義，也可進(jìn)行初等變換.

我們以常用的2×2分塊初等矩陣為例，來對分塊初等矩陣作定義.

定義1對某個(gè)單位矩陣作分塊Em00En，對它進(jìn)行兩行（列）對換，某一行（列）左乘（右乘）一個(gè)矩陣P，一行（列）加上另一行（列）的P （矩陣）倍數(shù)，得到的以下五類分塊的矩陣：

即0EnEm0，P00En，Em00P，EmP0En，Em0PEn

稱為分塊初等矩陣.

注1顯然，上述各類分塊初等矩陣中的每一個(gè)都是若干初等矩陣的乘積.

引理1分塊初等矩陣都是可逆的.

引理2用分塊初等矩陣左乘（或右乘）某一矩陣相當(dāng)于對其作相應(yīng)的分塊初等行（或列）的初等變換.

注2在使用分塊初等矩陣時(shí)，要注意所作的分塊必須使得分塊乘法等運(yùn)算能夠進(jìn)行.

2.分塊矩陣初等變換的應(yīng)用

用分塊初等矩陣所作的分塊矩陣的初等變換，是矩陣運(yùn)算中極為重要的手段，它能夠使一些困難的問題變得容易處理.下面分別給出它在矩陣的行列式、矩陣求逆及特征多項(xiàng)式方面的應(yīng)用.

命題1設(shè)Α，Β分別是n×m和m×n矩陣，則En-ΑΒ=Em-ΒΑ.

命題2設(shè)A，B，C，D都是n階可逆方陣，則ABCD=A·D-CA-1B.

例1計(jì)算n階行列式

Tn=a1+λ1a1…a1a2a2+λ2…a2…………anan…an+λn（λi≠0，i=1，2，…，n）.

解Tnc2-c1c3-c1=…cn-c1a1+λ1-λ1-λ1…-λ1a2λ20…0……………an00…λn.

設(shè)A=（a1+λ1），B=（-λ1，…，-λ1），C=（a2，…，an），D=λ20λ30λn，

則D可逆，所以Tn=D·A-BD-1C=λ2λ3…λn（a1+λ1+a1λ1λ2+…+anλ1λn）=λ1λ2…λn1+∑ni=1aiλi.

命題3設(shè)A，D，C分別是m×m，n×n，n×m矩陣，A，D均可逆，則 A0CD-1=A-10-D-1CA-1D-1.

例2求矩陣A=abab-cd-cdab-a-b-cdc-d，且ad+bc≠0的可逆矩陣.

解設(shè)P=ab-cd，則A=PPP-P.

PPE0P-P0E→PPE0P-2P-EE→PPE00-P12E-12E→

P012E12E0P12E-12E→E012P-112P-10E12P-1-12P-1.

故A-1=12P-1P-1P-1-P-1，又P-1=1ad+bcd-bca，

所以A-1=12（ad+bc）d-bd-bcacaa-b-dbca-c-a.

命題4設(shè)A，B為任意兩個(gè)n階方陣，證明AB與BA有相同的特征多項(xiàng)式.

證明由分塊矩陣乘法知E00λEE-A0EAλEEB=0λE-ABλEλB

兩邊取行列式得：λnAλEEB=λn（-1）nλE-AB.①

E0-BEE00λEAλEEB=AλEλE-BA0，

兩邊取行列式得：λnAλEEB=λn（-1）nλE-BA.②

比較①②得λE-AB=λE-BA.故AB與BA有相同的特征多項(xiàng)式.

以上我們雖然僅討論了分塊初等矩陣及相應(yīng)的分塊矩陣初等變換的幾種常見應(yīng)用，但已經(jīng)足以看出分塊矩陣的初等變換在矩陣運(yùn)算中是很重要的，其應(yīng)用也是非常廣泛的.

【參考文獻(xiàn)】

＼[1＼] 徐仲，陸全，張凱院，等.高等代數(shù)（北大·第三版）考研教案＼[M＼].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006（2007重印）.

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