淺談方向導數的幾何意義

張輝　敬斌　趙偉舟　王靜

【摘要】利用向量代數和二元函數微分法幾何應用，分析得到二元函數方向導數的幾何意義，旨在學生對方向導數有更深的理解.

【關鍵詞】 方向導數；可微； 方向向量

【中圖分類號】O172.1

關于方向導數，教材僅對概念和計算方法作一介紹.方向導數不僅是多元函數微分學的重要理論知識，而且是實踐和應用的理論基礎.為更好地理解方向導數的本質，下面研究二元函數方向導數的幾何意義.

設f（x，y）在點P0（x0，y0）的某鄰域內有定義，且在點P0（x0，y0）可微，則f（x，y）在點P0（x0，y0）沿任意方向l的方向導數都存在，且有

fl（x0，y0）=fx（x0，y0）cosα+fy（x0，y0）cosβ，

其中el=（cosα，cosβ）是與l同方向的單位向量.

由空間解析幾何得，方向l所確定有向射線P0P的一般方程為

（x-x0）cosβ-（y-y0）cosα=0，z=0.

記z=f（x，y）所確定的曲面為π1.過有向射線P0P作與xOy坐標面垂直的半平面π2，則半平面π2的方程為（x-x0）cosβ-（y-y0）cosα=0.

記半平面π2與曲面π1的交線為Q0Q，其中點Q0（x0，y0，f（x0，y0））在曲面π1上，且在xOy坐標面的投影為點P0.在半平面π2上，過點Q0作與有向射線P0P平行的有向射線Q0Q1，過點Q0再作曲線Q0Q的有向切線Q0Q2，如圖所示.

記有向切線Q0Q2與有向射線P0P的夾角θ，則θ∈[0，π2）.由于P0P∥Q0Q1，則有向切線Q0Q2與有向射線Q0Q1的夾角也為θ.取有向射線Q0Q1的一個方向向量為s1=（cosα，cosβ，0）.

由于交線Q0Q的一般方程為

z-f（x，y）=0，（x-x0）cosβ-（y-y0）cosα=0.

由二元函數微分法的幾何應用，取有向切線Q0Q2的一方向向量為

s2=i→j→k→-fx（x0，y0）-fy（x0，y0）1cosβ-cosα0

=（cosα，cosβ，fx（x0，y0）cosα+fy（x0，y0）cosβ），