用平面法向量求空間距離和夾角

朱月祥

立體幾何問(wèn)題中，求空間距離和夾角是一個(gè)常見的問(wèn)題，是學(xué)習(xí)的重點(diǎn).解這類問(wèn)題的方法很多，通常手法是將空間問(wèn)題“平面化”，即將空間問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)平面問(wèn)題加以求解.

空間向量是數(shù)學(xué)的一個(gè)新工具，利用它處理立體幾何問(wèn)題往往可以省去許多麻煩，其突出的特點(diǎn)是以算代證.求空間角和距離時(shí)，并不用知道垂線在哪里，也不必作出要求的角，只要按固定的方法一步一步地算下去，就能得出你所要的結(jié)論.本文結(jié)合具體案例，介紹用平面的法向量來(lái)求解這類問(wèn)題.

一、求點(diǎn)到平面的距離

圖1例1在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn).求點(diǎn)D到平面B1EF的距離.

解如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，則

D（0，0，0），B（1，1，1），E1，12，0，F(xiàn)12，1，0.

于是，B1E=0，-12，-1，B1F=-12，0，-1.

設(shè)平面B1EF的法向量為n=（x，y，z），

則由n⊥B1E，n⊥B1F，得-12y-z=0，-12x-z=0.

令z=1，則x=-2，y=-2.所以n=（-2，-2，1）.

又DE=（1，12，0），則點(diǎn)D到平面B1EF的距離為

d=n·DEn=（-2，-2，1）·（1，12，0）3=1.

評(píng)析解這類問(wèn)題的基本思路是：

圖2如圖2，點(diǎn)B到平面α的距離d=BC，設(shè)∠ABC=θ1，∠BAC=θ2，θ1+θ2=π2，且cosθ1=n·ABnAB.

在Rt△ABC中，BC=ABcosθ1=n·ABn，則d=n·ABn.

二、求平行平面之間的距離

例2在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，CC1=c，求平面A1BD和平面B1D1C的距離.

圖3解如圖3，建立空間直角坐標(biāo)系，則

D（0，0，0），A1（b，0，c），B（b，a，0），C（0，a，0）.

于是，DA1=（b，0，c），DB=（b，a，0），DC=（0，a，0）.

設(shè)平面A1BD的法向量為n=（x，y，z）.

由n⊥DA1，n⊥DB，得bx+cz=0，bx+ay=0.

令x=ac，則y=-bc，z=-ab.

所以，n=（ac，-bc，-ab）.

要求平面A1BD和平面B1D1C的距離，只需求點(diǎn)C到平面A1BD的距離，則

d=n·DCn=（ac，-bc，-ab）·（0，a，0）a2b2+b2c2+c2a2.

故平面A1BD和平面B1D1C的距離為abca2b2+b2c2+c2a2.

評(píng)析解這類問(wèn)題的基本思路是：

若平面α∥平面β，求平面α和平面β之間的距離可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)的任一點(diǎn)到平面β的距離.

三、求異面直線的距離

例3在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分別是BB1，B1C1的中點(diǎn)，P是線段MN的中點(diǎn).求DP與AC1的距離.

圖4解如圖4，建立空間直角坐標(biāo)系，則B1（0，0，0），A（0，1，1），C1（1，0，0），D（1，1，1），P14，0，14.

設(shè)過(guò)DP且平行于AC1的平面α的方程為A2x+B2y+C2z+e=0.