例談平面向量“兩種形式”在解題中的應用

楊祖華　張建葵

向量作為一種重要的解題工具，一直是高考的熱點和重點內容，教材中對于平面向量給出了幾何表示和代數表示兩種形式，在解決平面向量問題中，學生能綜合運用向量的幾何形式和代數形式思考問題，不僅能增強分析問題、解決問題的能力，而且對提高數學素養有重要作用.

相比較而言，學生對于向量的坐標表示更容易接受和理解，但對向量的幾何表示包括幾何運算往往感到比較困難，然而從平面向量的幾何意義來看，其中又有很多獨特之處，如能合理地運用向量的加法、減法的平行四邊形法則或三角形法則以及向量平行與垂直的充要條件，結合平面向量的基本定理等這些幾何意義，那么在解決平面向量計算問題時往往能收到事半功倍的效果.現舉幾例，予以說明.

例1（2013年山東高考理科15）已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，則實數λ的值為.

思路1利用向量的“幾何形式”，將向量幾何轉化.利用向量的線性運算及數量積運算.

解法1向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|=3，|AC|=2，

所以AB·AC=AB·ACcos120°=-12×3×2=-3.

由AP⊥BC，得AP·BC=0，

即AP·BC=（λAB+AC）·（AC-AB）=0，

所以AC2-λAB2+（λ-1）AB·AC=0，

即4-9λ-3（λ-1）=0，解得λ=712.

思路2利用向量的“代數形式”，將向量坐標轉化.建立平面直角坐標系，確定各關鍵點的坐標，利用向量坐標運算求得數量積AP·BC，進而解出λ.

解法2以點A為原點，直線AB為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則A（0，0），B（3，0），C（-1，3）.又設 P （x，y），所以AB=（3，0），AC=（-1，3），BC=（-4，3）.

因為AP=λAB+AC，所以AP=λ（3，0）+（-1，3）=（-1+3λ，3）

由AP⊥BC，得AP·BC=0，即AP·BC=（-1+3λ，3）·（-4，3）=-4（-1+3λ）+3=0，解得λ=712.

例2（2013年天津高考理科12）在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點.若AC·BE=1，則AB的長為.

思路1利用向量的“幾何形式”，將向量幾何轉化.根據向量的加法及平面向量的基本定理由AD，AB表示AC，BE，再由AC·BE=1求AB的長.

解法1因為AC=AB+AD，BE=BA+AD+DE=-AB+AD+12AB=AD-12AB，

所以AC·BE=（AB+AD）·（AD-12AB）=AD2+12AD·AB-12AB2

=1+12×1×ABcos60°-12AB2=1.

所以14AB-12AB2=0，解得AB=12.

思路2利用向量的“代數形式”，將向量坐標轉化.建立平面直角坐標系，確定各關鍵點的坐標，將向量AC，BE用坐標表示，并利用向量坐標運算求得數量積AC·BE，進而解出x，最后求AB的長.

解法2以點A為原點，直線AB為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則A（0，0），D12，32.又設 B（x，0），則Cx，32，E12+x2，32，所以AC=12+x，32，BE=12-x2，32.

由AC·BE=1，得12+x，3212-x2，32=1，所以x=12或x=0（舍），即AB=12.

在這里我們不去探究幾何形式和代數形式在解題中哪個更簡單，因為簡單是相對的，它依賴于我們所擁有的知識背景和問題的情況.平面向量中與數值有關的計算問題，往往是通過向量與向量之間的特殊的位置關系，通過轉化、結合平面向量的概念及其線性運算、平面向量的基本定理及向量坐標運算、平面向量的數量積運算而形成求解思路，若能充分利用向量雙重身份作為聯系幾何和代數的紐帶，數與形結合，就能從容解決與平面向量有關的問題.

【參考文獻】

＼[1＼]邢維金，陳熙.巧用向量的拆分與組合求向量的數量積＼[J＼].中學數學研究，2013（12）.

＼[2＼]龔青.例談用向量法解決立幾中的探索性問題＼[J＼].中學數學研究，2013（11）.

＼[3＼]普通高中課程標準實驗教科書《數學》（必修4）·北京：北京師范大學出版社，2008.