找準化歸方向探尋轉化角度

張建葵　楊祖華

1.考題再現(xiàn)

（2013年高考文科數(shù)學安徽卷第18題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA=6.

（Ⅰ）證明：PC⊥BD；

（Ⅱ）若E為PA的中點，求三棱錐P-BCE的體積.

2.問題分析

本題第（Ⅱ）問是求三棱錐體積問題，求簡單幾何體的體積問題關鍵是能夠將題設的特殊條件進行合理轉化，求解出底面積和高，進而得出幾何體的體積.高考考查的重點就在于找高，對文科生來講解決這一問的難點也在于找高，其關鍵是選擇易尋求高的底面，利用線面垂直的判定找高.而第（Ⅰ）問的證明為第（Ⅱ）問找高做了很好的鋪墊，教師在引導學生找準此問化歸方向的同時，鼓勵學生大膽探尋此問轉化的角度，充分發(fā)揮化歸轉化思想解決立幾的作用，進而得出此問的解決方法.

3.解法研究

思路一利用等積法轉化頂點求體積，由第（Ⅰ）問知BD⊥面PAC，所以由點P轉化為點B求體積.

解法一（等積轉化法）

由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，

所以BO是點B到面PEC的距離.

∵AB=AD=CB=CD=2，∠BAD=60°，

∴BD=2BO=2，AC=2AO=23.

又∵PB=PD=2，

∴PO=3，又PA=6，

∴PO2+AO2=PA2.即PO⊥AC.

∴S△PAC=12PO·AC=12×3×23=3.

∴S△PEC=12S△PAC=32.

∴VP-BCE=VB-PEC=13·S△PEC·BO=13×32×1=12.

思路二利用等高法轉化頂點求體積，有條件知E為PA的中點，則點P，A到平面BCE的距離相等，從而由點P轉化為點A求體積，再利用等積法轉化，由點A轉化為點E求體積.

解法二（等高轉化法）

由條件得：

S△ABC=S△ABD

=12BD·AO=12×2×3=3，PO=3，

∴VP-BCE=VA-BCE

=VE-ABC=13·S△ABC·12PO=13×3×12×3=12.

思路三利用割補法轉化求體積，由第（Ⅰ）問知PO⊥面ABC，所以三棱錐P-BCE的體積轉化為三棱錐P-ABC的體積減去三棱錐E-ABC的體積.

解法三（割補轉化法）

由條件得：