深刻理解數學真正領會題意

胡永斌

【摘要】教師對數學理解的深度，在例題教學中表現出來的是解題方法的適度，也就是挖掘出題目的本來意圖，真正領會題意，從而找到與題目的相關信息最近最密切的知識去解決，才是最佳的解決方案.

【關鍵詞】理解；領會；題目的相關信息；最佳； 簡潔

反比例函數y=kx（k≠0）中，比例系數k除了可以確定圖像位置、圖像特征、增減性等外，k還有其幾何意義：如圖，過雙曲線y=kx（k≠0）上任意一點P（x，y）作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，則S矩形PAOB=PA·PB=︱y︱·︱x︱=︱xy︱.∵y=kx，∴xy=k.∴S矩形PAOB=︱k︱.即過雙曲線y=kx（k≠0）上任意一點向兩坐標軸作垂線，兩垂線與坐標軸圍成的矩形面積為︱k︱.

這一核心知識的考查最近十幾年來在全國各地的中考中從未間斷過，在《中小學數學》（初中版）上先后刊登了文＼[1＼]、文＼[2＼]、文＼[3＼]，對同一道題用了不同解法.此題與這一核心知識相關，但文章作者都沒有運用它去解決，在此筆者對他們的解題思路及方法做簡要分析，并給出運用k的幾何意義的簡潔解法.

原題：如圖所示，一次函數y=kx-2（k>0）與雙曲線y=kx在第一象限內的交點為R，與x軸、y軸的交點分別為P，Q，過點R作RM⊥x軸于M點，若△OPQ與△MPR的面積相等，則k的值等于多少？

文＼[1＼]中肯定地說：“假若不證明或不利用△OPQ≌△MPR，借助其他條件，是絕對求不出k值的.”筆者認為這個觀點太武斷.作者看到題目中△OPQ與△MPR面積相等，又易證△OPQ與△MPR相似，由此想到了用全等知識來解決.筆者妄加推測，文＼[1＼]中補充判定定理（相似且面積相等的兩個三角形全等）的由頭可能從此而起，是為了解決這道題才補充了一個“能當定理用，可教材中找不到出處”的真命題.作者卻感到無可奈何.

文＼[2＼]對文＼[1＼]的觀點進行了否定，“不用△OPQ≌△MPR，是可以求出k的值”.我同意此觀點.文＼[2＼]的解題思路是聯立一次函數y=kx-2和雙曲線y=kx的解析式，求得R的坐標，同時根據已知可求得P，Q的坐標和線段OP，OQ，RM，PM的長.根據△OPQ與△MPR的面積相等列出方程，2×2k=1+k2-1k×（1+k2-1），由此解得k值.筆者以為這種解法思路還算自然但運算量大，列的方程超出了教材要求（無理方程教材中已刪），此方法并不適合于學生，忽視了學生的可接受性.

文＼[3＼]中利用△OPQ∽△MPR 得 OP·RM=PM·OQ ①，又 S△OPQ=S△MPR，得OP·OQ=PM·RM②，由 ①÷②得到RM=OQ.以此作為突破口，進而得到k值.這個解法比文＼[2＼]的運算量小，但通過相除消元得到RM=OQ的思路和文＼[1＼]利用全等得到RM=OQ相比，顯得偏難.

以上三文從不同角度尋求解決問題的方法，我們教師可以借鑒，但從學生的接受角度講，都不盡如人意，對題目中“若△OPQ與△MPR的面積相等”條件領會不深刻，對反比例函數y=kx（k≠0）中比例系數k的幾何意義挖掘不夠.筆者利用k的幾何意義略解如下：

過點R作RN⊥y軸于N點，設R點坐標（m，n），由y=kx-2與坐標軸相交，得Q（0，-2），即OQ=2， P2k，0.由k的幾何意義知，S矩形OMRN=RN·RM=mn=k.利用已知S△OPQ=S△MPR，可得 S△QNR=S△QOP+S四邊形ONRP=S△MPR+S四邊形ONRP=S矩形OMRN=k，又S△QNR=12QN·NR=12（OQ+ON）·NR=k， ∴12（2+n）m=k， ∴n=2.又因為R（m，2）在y=kx-2和y=kx上，∴2=km-2，2=km.∴2=k·k2-2， 又k>0， ∴k=22.

利用反比例函數y=kx（k≠0）中比例系數k的幾何意義解此類題要運用“數形結合”的數學思想方法，其解法具有簡潔性、直觀性.總之，教師在例題教學時不能只給學生一個解法，要真正領會題意，解法簡單自然學生易接受為好.

【參考文獻】

＼[1＼]毛立武.給三角形全等補充一個判定定理＼[J＼].中小學數學（初中版），2012（5）：26-26.

＼[2＼]曾飛鵬.我的兩點意見＼[J＼].中小學數學（初中版），2013（1-2）：38-38.

＼[3＼]胡從華.我再提供一個解法＼[J＼].中小學數學（初中版），2013（3）：23-23.