從江蘇高考看二元函數的值域或最值

黃健

【摘要】近年來，江蘇高考中經常出現二元或三元函數求最值或值域的試題，這類試題變量較多，考查函數思想、數形結合思想、轉化與化歸思想等，有一定的難度，學生往往無從下手.本文通過示例談談這類問題的求解策略，以期幫助大家提高解決這類問題的能力.

【關鍵詞】二元函數；函數思想；數形結合

問題1：（2008江蘇11題）設x，y，z為正實數，滿足x-2y+3z=0，則y2xz的最小值是.

解析題中有三個量，通過合理消元將目標函數化為二元函數.

由x-2y+3z=0得y=x+3z2，代入y2xz得x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3，

當且僅當x=3z時取“=”.

說明題設條件給出的變量間的關系是等量關系，可以用函數法、基本不等式等方法解決.本題考查二元基本不等式的運用.

演練1已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，求xyz的最大值.

解析x+y+z=1兩邊平方得：3+2xy+xz+yz=1，即xy+zx+y=-1，又x+y=1-z，所以xy+z1-z=-1，xyz=-1-z1-zz=z3-z2-z.

由3-z2=x2+y2≥2xy=2-1-z1-z得-1≤z≤53.

記f（z）=z3-z2-z，由導數相關知識不難求出最大值為527.

說明本題條件給出的是等量關系，可考慮用函數法、基本不等式等方法.合理變形消元將目標函數化為一元函數是解決好本題的關鍵，不能忘記函數的定義域.

問題2：（2010江蘇12題）設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2[]y≤9，則x3[]y4的最大值是.

解析一

x2[]y2∈[16，81]，1[]xy2∈1[]8，1[]3，x3[]y4=x2[]y2·1[]xy2∈[2，27].

解析二由題意不難發現x>0，y>0，對兩不等式分別取常用對數得：

lg3≤lgx+2lgy≤3lg2，2lg2≤2lgx-lgy≤2lg3，目標函數可以轉化為3lgx-4lgy，令lgx=u，lgy=v，問題轉化為線性規劃問題，不難求得最大值為27.

說明題設條件給出的變量間的關系是不等關系，可轉化為規劃問題解決.本題考查不等式的基本性質、等價轉化思想.

問題3：（2012江蘇14題）已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則b[]a的取值范圍是.

解析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化為：3·ac+bc≥5，ac+bc≤4，bc≥eac.

設ac=x，y=bc，則題目轉化為：

已知x，y滿足3x+y≥5x+y≤4y≥exx>0，y>0，求y[]x的取值范圍.

作出（x，y）所在平面區域，由規劃知識不難求得yx的取值范圍為e， 7，即ba的取值范圍是e， 7.

說明題中有三個量，通過恰當合理地轉化，條件化為二元不等關系，可轉化為規劃問題解決.主要考查不等式的基本性質、對數的基本運算、平面區域以及化歸與轉化的數學思想，關鍵是注意不等式的等價變形，做到每一步都要等價.

演練2已知△ABC的三邊長a，b，c滿足b+2c≤3a，c+2a≤3b，求ba的取值范圍.

解析令x=ba，y=ca，由b+2c≤3a，c+2a≤3b，得x+2y≤3①，y+2≤3x②.

又a-bc，

得-y<1-xy④.

問題轉化為已知兩個變量x，y的不等關系，求變量x的范圍，可用線性規劃的方法處理.

作出平面區域，可得ba的取值范圍是34，53.

說明本題考查了三角形三邊之間的關系，會進行簡單的線性規劃，考查了化歸與轉化、數形結合的數學思想.

以上幾道題目給我們的啟示：一般地，求二元函數的值域或最值問題，如果題設條件給出的變量間的關系是等量關系，那么可以用函數法、基本不等式等方法解決；如果題設條件給出的變量間的關系是不等關系，可轉化為規劃問題來求解.若題中有多個變量，可根據題意減少變量的個數.