淺談用數學歸納法來尋求加強不等式

童昌盛

【摘要】在數學歸納法證明數列不等式教學中，我們選擇的試題常是不等式的兩邊均含有“n”，這樣由“n=k”到“n=k+1”過程，不等式兩邊都在變化從而達到一種遞推關系.但在數列不等式中，會常出現不等式的一邊是一個常數，自然直接用數學歸納法一般行不通的，那么能否對不等式進行一定變形，使之再結合數學歸納法完成不等式的證明？本文欲結合3個具體的題目來談談用數學歸納法來尋求加強不等式的思想方法.

【關鍵詞】加強不等式；數學歸納法

例1（2006年江西卷） 已知數列{an}滿足：a1=32，an=3nan-12an-1+n-1（n≥2，n∈N*）.證明：對于一切正整數n，不等式a1·a2·a3·…·an<2·n！成立.

分析通過考察數列的通項公式，可得a1·a2·a3·…·an=n！1-131-132·…·1-13n.

為證a1·a2·a3·…·an<2·n！，只需證明不等式33-1·3232-1·…·3n3n-1<2.

設不等式33-1·3232-1·…·3n3n-1<2f（n）， 且0

當n=k時，假設33-1·3232-1·…·3k3k-1<2f（k）成立.則當n=k+1時，有33-1·3232-1·…·3k3k-1·3k+13k+1-1<2f（k）·3k+13k+1-1<2f（k+1）f（k）f（k+1）<3k+1-13k+1成立.所以，設f（k）=3k3k+c（c>0），則f（k）f（k+1）<3k+1-13k+1，即為3k+1+c3k+1+3c<3k+1-13k+1

32（k+1）+c·3k+1<32（k+1）-3k+1+c·3k+2-3c.

解得，c>3k+12×3k+1-3=12+1212×3k-1，此不等式恒成立，∴c>35.當n=1時，33-1<2f（1）=2×33+c，∴c≤1.故取c=1，即f（n）=3n3n+1.

所以，我們先用數學歸納法證明不等式：33-1·3232-1·…·3n3n-1<2·3n3n+1，不等式2·3n3n+1<2顯然成立.

例2（2008年遼寧卷理科）在數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列（n∈N*）.

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測數列{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結論；

（Ⅱ）證明：1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn<512.

解析由（Ⅰ）得an+bn=（n+1）（2n+1），設

1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn=12×3+13×5+14×7+…+1（n+1）×（2n+1），12×3+13×5+14×7+…+1（n+1）×（2n+1）<512-f（n），其中f（n）>0.

顯然，不等式512-f（n）<512成立.

下面用數學歸納法證明的過程來探究f（n）的表達式：

當n=k時，不等式12×3+13×5+14×7+…+1（k+1）×（2k+1）<512-f（k）成立.

那么，當n=k+1時，12×3+13×5+14×7+…+1（k+1）×（2k+1）+1（k+2）×（2k+3）<512-f（k）+1（k+2）×（2k+3）<512-f（k+1）.

所以，由此分析可知：f（k）-f（k+1）>1（k+2）×（2k+3）.

又∵1（k+2）×（2k+3）=12（k+2）×k+32=1k+32-1k+2<1k+1-1k+2，