放縮法證不等式的若干策略

劉偉益

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，同時(shí)也是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn).高考試題中的不等式，著重考查考生對(duì)數(shù)學(xué)式的變形能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.在不等式的證明中，放縮法是一個(gè)有力的工具.放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開.證明不等式時(shí)，我們要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)姆趴s方法，這樣才能達(dá)到事半功倍的效果，下面舉例說明.

一、利用三角形的三邊關(guān)系

例1已知a，b，c是△ABC的三邊，求證：a1+a+b1+b>c1+c .

證明設(shè)函數(shù)f（x）=x1+x，即f（x）=1-11+x（x>0），顯然f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閍，b，c是三角形三邊，故有a+b>c，所以f（c）

即c1+c

則a1+a+b1+b>c1+c.

點(diǎn)評(píng)學(xué)生知道要利用三角形的三邊關(guān)系，但無法找到放縮的方法，難在構(gòu)造函數(shù).

二、利用函數(shù)的單調(diào)性

例2求證：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，恒有1+131+15·…·1+12n-1>1+2n2.

證明原不等式變形為

1+131+15·…·1+12n-11+2n>12.

令 f（n）=1+131+15·…·1+12n-11+2n ，（n=2，3，…），

則 f（n+1）f（n）=1+12n+11+2n2n+3

=2n+2（2n+1）（2n+3）

=2（n+1）4（n+1）2-1>2（n+1）4（n+1）2=1，

所以f（n+1）>f（n），即f（n）是單調(diào)增函數(shù)（n=2，3，…），

所以f（n）>f（2）=1645>12.故原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)一開始學(xué)生就用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了.若使不等式的右邊變?yōu)槌?shù)，再用單調(diào)性放縮就好了.

三、利用基本不等式

例3已知f（x）=x+1x（x>0）求證：fxn-fxn≥2n-2，n∈N*.

證明fxn-fxn=c1nxn-2+c2nxn-4+…+cn-1nx2-n.

設(shè)Tn-1=c1nxn-2+c2nxn-4+…+cn-1nx2-n，（1）

Tn-1=cn-1nx2-n+cn-2nx4-n+…+c1nxn-2. （2）

（1）+（2）得

2Tn-1=c1n（xn-2+x2-n）+c2nxn-4+x4-n+…+cn-1nx2-n+xn-2

≥2c1n+c2n+…+cn-1n=2（2n-2）.

∴Tn-1≥2n-2，（n∈N*）.