高三函數性質相關問題的解法

孫月華

【摘要】函數性質是高三數學學習的重要組成部分，其中函數最值問題又是函數性質的重中之重，在函數性質中占有很重的分量，具有很強的綜合性和運用性，也是高考考查的重點.

【關鍵詞】高三函數性質；相關問題；解法

求最值問題需要學生有全面的分析能力和靈活運用方法解決問題的能力，是高考數學中的熱點和難點.本文筆者通過多年的高三數學教學實踐活動，對于函數性質相關問題中的最值問題的解法進行了總結和歸納，僅供參考.

一、利用數形結合法求函數最值

數形結合法也是函數最值問題中比較常見的用法，舉例說明：

典例設函數f（x）=x2-2x+2，x∈[t，t+1]，t∈R，求函數f（x）的最小值.

思路分析本題中區間是變化的，從運動的觀點來看，讓區間從左向右沿x軸正方向移動，分析移動到不同位置時對最值有什么影響.借助圖形，可使問題的解決顯得直觀、清晰.

解析f（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，x∈[t，t+1]，t∈R，對稱軸為x=1.

當t+1<1，即t<0時，函數圖像如圖 （1）所示，函數f（x）在區間[t，t+1]上為減函數，所以最小值為f（t+1）=t2+1；

當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，函數圖像如圖 （2）所示，最小值為f（1）=1；

當t>1時，函數圖像如圖 （3）所示，函數f（x）在區間[t，t+1]上為增函數，所以最小值為f（t）=t2-2t+2.

二、利用導數法求函數最值

用導數法求給定區間上函數的最值問題一般可用以下幾步答題：a.求函數f（x）的導數f′（x）；b.求f（x）在給定區間上的單調性和極值；c.求f（x）在給定區間上的端點值；d.將f（x）的各極值與f（x）的端點值進行比較，確定f（x）的最大值與最小值.

典例已知函數f（x）=ln x-ax （a∈R）.（1）求函數f（x）的單調區間；（2）當a>0時，求函數f（x）在＼[1，2＼]上的最小值.

思路分析（1）已知函數解析式求單調區間，實質上是求f′（x）>0，f′（x）<0的解區間，并注意定義域.（2）先研究f（x）在＼[1，2＼]上的單調性，再確定最值是端點值還是極值.（3）由于解析式中含有參數a，要對參數a進行分類討論.

解f′（x）=1[]x-a （x>0），

①當a≤0時，f′（x）=1[]x-a>0，即函數f（x）的單調增區間為（0，+∞）.

②當a>0時，令f′（x）=1[]x-a=0，可得x=1[]a，

當00；

當x>1[]a時，f′（x）=1-ax[]x<0，

故函數f（x）的單調遞增區間為0，1[]a，

單調遞減區間為1[]a+∞.

（2）①當1[]a≤1，即a≥1時，函數f（x）在區間＼[1，2＼]上是減函數，所以f（x）的最小值是f（2）=ln 2-2a.

②當1[]a≥2，即0

③當1<1[]a<2，即1[]2

又f（2）-f（1）=ln 2-a，所以當1[]2

當ln 2≤a<1時，最小值為f（2）=ln 2-2a.

綜上可知，當0

當a≥ln 2時，函數f（x）的最小值是ln 2-2a.

結語高三函數性質一直是高三數學學習的重點和難點，是高考中比較偏愛的考查對象.在平時的教學實踐過程中，要不斷地鉆研和學習，提高自身的教學綜合素質，從而能夠根據高三函數性質的教學目標和學生的學習情況合理地安排教學內容.

【參考文獻】

＼[1＼]田玉梅.例談函數最值問題的解法＼[J＼].試題與研究：新課程論壇，2012（10）：33-34.

＼[2＼]莊中文，張麗莎.中學函數最值問題的學習情況與教學探析——以某縣中學高三（1）班為例.教育教學論壇，2011（18）：25-27.