在聯想中提高解題能力

唐澤生

聯想是一種思維活動，其特點是從某一事物想到與之有一定聯系的另一事物.解數學題的聯想應是根據題意想到相關的公式、定理、性質及例題，從而使問題得到順利的解決.在聯想中提高解題能力重點在于點撥，啟發學生聯想到所學過的知識點與數學思想和數學方法，使學生學有收獲.在教學中，我設計了下面一道題，讓學生思考：

1.已知a41+a42+…+a4n=1，b41+b42+…+b4n=1.

求證：a21b21+a22b22+…+a2nb2n≤1.

2.已知a，b，c∈R+，求證：

①a6+2b6+3c6≥6ab2c3；

②5a7+2b7≥7a5b2.

要求：（1）據題意，你聯想到什么知識點，做后有何感悟？

（2）能否推廣？若能，寫出推廣的式子.

分析第一題，由題目的結構聯想到知識點ab≤a2+b22a2b2≤a4+b42也成立，則a21b21≤a41+b412，a22b22≤a42+b422，∴a2nb2n≤a4n+b4n2 a21b21+a22b22+…+a2nb2n≤a41+a42+…+a4n+b41+b42+…+b4n2=1.

推廣若an1+an2+…+ann=1，bn1+bn2+…+bnn=1，且a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R+，則有（a1b1）n2+（a2b2）n2+…+（anbn）n2≤1.

分析第二題，①②都要這樣的特點，左邊各項系數之和與右邊項系數相等，聯想到知識點，設a1，a2，…，an∈R+，則a1+a2+…+an≥nna1an…an.因此，可作下列的變式：a6+2b6+3c6=a6+b6+b6+c6+c6+c6≥66a6b12c18=6ab2c3，故a6+2b6+3c6≥6ab2c3.同理可證，5a7+2b7≥7a5b2.

推廣1在a1+a2+…+an≥nna1a2…an中，若令a1+a2+…+ap1=an，ap1+1+ap1+2+…+ap1+p2=bn，ap1+p2+1+ap1+p2+2+…+ap1+p2+p3=cn，其中p1+p2+p3=n，則有p1an+p2bn+p3cn=（an+an+…+an）p1個+bn+bn+…+bnp2個+cn+cn+…+cnp3個≥p1+p2+p3p1+p2+p3anp1·bnp2·cnp3=nap1bp2cp3，等號成立a=b=c.

推廣2設a，b∈R+，m，n∈N*且m

應用上面的兩個推廣，還可以證明下列兩個較難的不等式.

已知a，b，c∈R+，n∈N*，求證：

（1）a6+b6+c6≥ab2c3+a2b3c+a3bc2；

（2）ln（n+2）-ln（n+1）ln（n+1）-lnn>nn+1.

分析（1）根據p1an+p2bn+p3cn≥nap1bp2cp3，可得

a6+2b6+3c6≥6ab2c3

2a6+3b6+c6≥6a2b3c

3a6+b6+2c6≥6a3bc2

6（a6+b6+c6）≥6（ab2c3+a2b3c+a3bc2）

a6+b6+c6≥ab2c3+a2b3c+a3bc2.

分析（2）求證不等式可轉化為

lnn+2n+1lnn+1n>nn+1

（n+1）ln1+1n+1>nln1+1n

1+1n+1n+1>1+1nn.（3）

故要證（2），只f需證（3）即可.

∵1+1n+1≠1+1n，可令a=1+1n+1，b=1+1n.

又由man+（n-m）bn≥nambn-m，令m=1，可得

an+（n-1）bn≥nabn-1an+1+nbn+1≥（n+1）abn.

1+1n+1n+1+n1+1nn+1≥

（n+1）1+1n+11+1nn

1+1n+1n+1+n1+1n1+1nn>

（n+2）1+1nn

1+1n+1n+1>1+1nn

（n+1）ln1+1n+1>nln1+1n

lnn+2n+1lnn+1n>nn+1

ln（n+2）-ln（n+1）ln（n+1）-lnn>nn+1.