關于數形結合思想方法的教學研究

盧聰

【摘要】數形結合是高中數學中重要的思想方法，它是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題的方法，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，它融合了數的嚴謹性與形的直觀性，從而達到優化解題過程的目的.本文通過一些典型問題的研究，拋磚引玉，與讀者朋友共同探討與提高.

【關鍵詞】數形結合；模型

一、思想方法解讀與問題引入

數形結合是通過“以形助數”（將所研究的代數問題轉化為研究其對應的幾何問題）或“以數助形”（借助數的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思考和解決問題的一種數學思想方法.它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數學問題的解答過程中具有獨特的策略指導作用.數形結合的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的幾何特性和規律，解決數學問題；或將圖形信息全部轉換成代數信息，使解決形的問題轉化為數量關系的討論.

圖1思考已知函數f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1）.當2

解析f（x）=logax+x-b的零點即為g（x）=logax與h（x）=x-b交點的

橫坐標.如圖1，觀察圖像得n=2.

∵f（1）=1-b<0，

f（2）=loga2+2-b<1+2-3=0，

f（3）=loga3+3-b>1+3-4=0，

由零點定理知x0在區間（2，3）內，故n=2.

二、問題研究

1.數形結合解決零點問題

問題一已知函數f（x）=-x2+2ex+t-1，g（x）=x+e2[]x，（x>0，其中e表示自然對數的底數）.（1）若g（x）=m有零點，求m的取值范圍；（2）確定t的取值范圍，使得g（x）-f（x）有兩個相異實根.

解析（1）∵g（x）=x+e2[]x≥2e2=2e，（x=e時，等號成立），故g（x）值域為[2e，+∞），因而只需m>2e，則g（x）=m有零點.（2）g（x）-f（x）=0有兩個相異實根

函數g（x）與f（x）的圖像有兩個不同

的交點.作出g（x）的圖像，配方：