應用聯想、類比、構造培養學生的創造思維

陳少旭

普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修4-5《不等式選講》，向學生介紹了柯西不等式，要求學生認識柯西不等式的幾種不同形式，并能給出證明，理解其幾何意義.教材的編寫意圖不是僅僅介紹其不等式和證明方法，而是希望通過分析、證明和解決問題，進一步討論經典不等式的簡單應用，提高學生運用重要數學結論進行推理論證的能力，此內容也是新課程高考選考內容之一.筆者在一次課外小組活動中，引導學生深入探究柯西不等式，發現其深刻的背景和內涵，并開動腦筋，挖掘其與所學數學知識的內在聯系，給出多種證明方法，培養學生的創造性思維.

二維形式的柯西不等式通常被表示為如下形式：

（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）.

柯西不等式不僅形式優美，而且具有重要的應用價值.高中新課程教材《數學》選修4-5《不等式選講》，對此不等式給出了兩種證明方法.

方法1教科書從學生熟悉的不等式a2+b2≥2ab引入這一不等式.由于不等式a2+b2≥2ab涉及平方和，聯想到（a2+b2）（c2+d2）（a，b，c，d∈R）也與平方和有關，所以通過多項式的乘法和因式分解，根據實數平方的非負性，可以證明二維形式的柯西不等式，這是代數證法.

證明左邊=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2

=（ac+bd）2+（ad-bc）2.

由于（ad-bc）2≥0，

可得（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2=右邊.

由上可知，當且僅當ad-bc=0，即ad=bc時，式中的等號成立.

方法2由二維柯西不等式，可以得出其等價形式：

a2+b2·c2+d2≥ac+bd以及a2+b2·c2+d2≥ac+bd.

聯想向量：α=（a，b），β=（c，d）的數量積的絕對值

α·β=α·β·cosθ

可以推出向量不等式

α·β≤α·β.

證明設向量α=（a，b），β=（c，d），a，b，c，d∈R.

∵α·β=α·β·cosθ≤α·β，

又∵α·β=（a，b）·（c，d）=ac+bd，

α=a2+b2，β=c2+d2，

∴ac+bd≤a2+b2·c2+d2，

即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

當且僅當cosθ=1，即α∥β亦即ad=bc時，取“=”.

注向量方法同時給出了二維柯西不等式的幾何解釋，即得到二維柯西不等式的幾何意義，兩個向量數量積的模不大于兩個向量模的積.

方法3分析柯西不等式

（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）的結構，

可令ac+bd=B，a2+b2=2A，c2+d2=2C，原不等式可表示為B2-4AC≤0，聯想到二次函數與一元二次方程根的判別式，可構造二次函數來證明柯西不等式.

證明構造二次函數：

f（x）=（ax-c）2+（bx-d）2 （a，b，c，d∈R）

=（a2+b2）x2-2（ac+bd）x+（c2+d2）（a，b不同時為0）.

由于對于一切x∈R，f（x）≥0，又a2+b2>0，所以有Δ≤0，

即4（ac+bd）2-4（a2+b2）（c2+d2）≤0，

亦即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

當且僅當ax-c=bx-d=0，即ad=bc時，不等式取等號.

方法4分析柯西不等式與均值不等式的關系，可利用均值不等式來證明柯西不等式.

證明a，b，c，d∈R，a，b或c，d不同時為零，a2a2+b2+c2c2+d2≥2a2c2a2+b2c2+d2 ，（1）

b2a2+b2+d2c2+d2≥2b2d2a2+b2c2+d2.（2）

（1）+（2）得 2≥2（|ac|+|bd|）a2+b2c2+d2，

即（a2+b2）（c2+d2）≥（|ac|+|bd|）2≥（ac+bd）2，

∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，

當且僅當a2a2+b2=c2c2+d2，

b2a2+b2=d2c2+d2，即|ad|=|bc|時不等式取等號.

方法5利用三角函數，聯想銳角三角函數和兩角和與差的公式，給出證明.

證明首先設a，b，c，d∈R+，構造直角三角形，如圖：