不定積分I=∫1[]（a+b玸in玿）琻玠玿（a，b≠0）解法和探討

朱萍萍　李雙東

【基金項目】安徽大學江淮學院院級教研項目，編號2013JY0002.

【摘要】不定積分的計算方法與技巧是高等數學中的重要內容之一，針對一道三角函數有理分式不定積分習題，進行分類討論，研究該問題在特殊和一般情形下的積分技巧與方法，給出

相應的積分公式，并舉例加以說明.

【關鍵詞】高等數學；不定積分；三角函數；分類討論

【中圖類分號】O13【文獻標識碼】A

引言

在多年高等數學教學中發現，三角函數有理分式不定積分的計算方法和技巧是

學生比較難掌握的內容之一，主要是因為三角函數有理分式的積分計算方法與技巧

豐富多彩，學生面對問題時經常不知道具體用什么方法，所以不斷分類總結有理分

式不定積分的方法是必要的.本文針對一道例題對其進行分類討論給出兩種情形

下解決相應類型積分的問題.

該題如下：計算不定積分I=∫1[]（a+bsinx）ndx（a，b≠0）.

1.問題探討

對上述問題，須得分類討論兩種情形分別計算積分，這也充分體現了積分的計算

技巧.

情形一n=1時，該積分形式為I=∫1[]a+bsinxdx（a，b≠0）

.令tanx[]2=t，sinx=2t[]1+t2，則原式I=∫1[]a+b2t[]1+t2·2[]1+t2dt=1[]a∫2[]t+b[]a2+a2-b2[]a2dt.

（Ⅰ）若a2-b2=0，則上式轉化為I=1[]a∫2[]t+b[]a2dt=-2[]at+b+C=-2[]atanx[]2+b+C.（1）