調和級數斂散性的幾種證法

曹西林

【摘要】級數是進行數值計算的重要工具.調和級數就是一種重要的級數，在考察正項級數的斂散性時，我們常將調和級數作為被比較的對象，判斷所求正項級數的斂散性.筆者從事高職高等數學教學多年，總結出適合高職高專學生掌握和應用的幾種簡單證法.

【關鍵詞】調和級數；部分和；收斂；發散

項目名稱：職業院校高等數學課程改革的質量標準與評價研究，項目編號：（XTZY14J14）

調和級數∑∞n=11n的發散性最早是由法國學者尼古拉·奧雷姆給出了證明.后來，大數學家約翰·伯努利也作出了經典的證明.而今，隨著級數理論的不斷完善，調和級數斂散性的證法有許多種.本文根據高職高專學生的知識儲備和理解能力，給出了調和級數發散性的幾種證明方法.

一、 幾何證法

調和級數∑∞n=11n的部分和Sn=1+12+13+…+1n，作函數y=1x的圖像，構造n個矩形（如下圖）.

由圖可知，Sn就是n個小矩形的面積之和，且面積之和大于所圍成的曲邊梯形的面積S曲，由定積分的幾何意義可得：

Sn>S曲=∫n+111xdx=lnxn+11=ln（n+1）.

因為當n→∞時，ln（1+n）→∞，所以limn→∞Sn=∞.所以，調和級數∑∞n=11n是發散的.

二、 反證法

假設調和級數∑∞n=11n收斂，且 limn→∞Sn=s.

顯然有limn→∞S2n=s，limn→∞（S2n-Sn）=s-s=0.

而S2n-Sn=1n+1+1n+2+…+12n>12n+12n+…+12n=12.

故與 limn→∞（S2n-Sn）=12≠0矛盾.

所以調和級數∑∞n=11n發散.

三、比較判別法

1.利用不等式x>ln（1+x）

由上不等式可知，∑∞n=11n=1+12+…+1n+…的各項均大于下面級數的對應項.

ln（1+1）+ln1+12+…+ln1+1n+…（1）

而（1）式的部分和為：

Sn=ln（1+1）+ln1+12+…+ln1+1n=ln2+ln32+…+lnn+1n=ln2×32×…×n+1n=ln（n+1）.

因為 limn→∞Sn=limn→∞ln（n+1）→+∞，

故調和級數∑∞n=11n發散.

2.利用放縮的方法