構造函數法在解題中的應用探討

王艷紅

【摘要】構造函數法是高等數學中最常用的分析手段之一，通過構造函數法解答高數中的相關問題，是解題的重要方法，也是學生需要重點熟悉掌握的根本解題方法.本文筆者通過探討構造函數法在解題中的運用，提出構造函數法在解題過程中的實際應用.

【關鍵詞】構造函數法；解題；應用探討

高等數學中存在一種非常重要且經常用于解決實際問題的方法——構造函數法，在解題過程中有著廣闊的市場和空間，它屬于構造法在數學的思想方法中的定義，構造顧名思義就是按照固定的模式，經過已經固定的操作運算步驟達到預期目的的方法.使用構造函數法的時候，往往不是對問題本身進行求解，通過腦海中重新定位組合尋找中間變量，從而轉換思路，達到解決問題的效果.該方法具有兩個十分鮮明的特征：直觀性和可行性，正是由于這兩個特征的存在，其才在數學方法運用的市場上有立足之地，經常在解決疑難問題的時候使用該方法，不論是在課題申報還是研究生答辯過程中，經常會考查這樣的思維方法.但是由于其相對較為抽象，在理解上有一定難度，是教學和交流中的一大難題，需要不斷積累以及一定的天生資質，如何幫助學生掌握這種重要的思想，本文筆者從構造函數法在解題中的應用入手，分析其特點.

一、中值ξ的存在性證明

我們在證明方程的根的存在性的時候，就是確認中值ξ的存在性，找到合適的輔助函數是函數論證的關鍵.如果這類問題的出現一般都是通過中值的定理去解決，我們在驗證的過程中要注意是否滿足相關條件.如果題目的假設中僅僅提供了抽象函數連續性的相關條件，或者所給出的方程為某個具體的方程時，我們此時就應該充分考慮是否使用零點定理.將方程的一端通過移項的方法轉換為零，函數的另一端便是所要構造的輔助函數，如果在結果中出現含有中值ξ的等式，那么則可以將中值ξ轉換成x.例如函數f（x）在＼[0，1＼]區間內為連續函數，且0≤f（x）≤1，通過構造函數的方法證明函數f（x）=x在＼[0，1＼]上至少存在一個實根.通過構造一個輔助函數F（x）=f（x）-X，并且要求F（0）=f（0）≥0，F（1）=f（1）-1≤0.如果在F（0），F（1）中出現了至少一個零，那么在0，1之中必然至少有一個為方程的解.假如F（0）>0而F（1）<0則可以通過零點定理得知，中值ξ在（0，1）之間，使得F（ξ）=0，由此可知函數方程組f（x）=x在＼[0，1＼]內至少存在一個解.所以我們可知方程f（x）=x在＼[0，1＼]上至少有一個實根.對于一個具體方程或者含有中值ξ的等式，如果構造的函數不能夠滿足零點定理，我們就需要通過改用羅爾定理進行驗證.

對于零點定理不能解決的問題我們用羅爾定理繼續證明，我們此時進行構造函數的主要方法就是找到原函數，主要步驟如下所示，首先如果需要證明的是含有ξ的等式，那么我們可以先將ξ轉換為x，使得題目中所給的等式成為方程；那么我們就可以將函數方程f（x）看成是對未知函數的微積分方程，下一步需要做的就是去解決這個微積分方程；通過計算求出解后，將任意一個常數c移動到函數方程的一端，而函數方程的另一端便是所要構造的輔助函數方程.我們還可以通過觀察法解決形式簡單的函數方程或者含有ξ的等式.

二、構造函數法在不等式證明中的運用步驟

構造函數在簡單方程函數運算時可以通過單調性進行相關證明，對于如f（x）g（x）的不等式函數，我們可以通過簡單變換構造輔助函數，即F（x）=f（x）-g（x）或者F（x）=g（x）-f（x），然后用單調遞增函數或單調遞減函數進行證明.

對于相對復雜的常數不等式以及函數不等式，我們還可以通過拉格朗日定理進行證明，經過恒等變形后，如果一旦出現方程函數的差值與自變量之間之差相比較，一旦符合拉格朗日中值的公式，那么我們就可以用拉格朗日中值定理進行相關證明.與此同時，我們所需要構造的這個函數也可以通過觀察法得出相應的結果.

構造函數利用拉格朗日定理證明不等式對于常值不等式或函數不等式，通過恒等變形后，若出現函數差值與自變量之差之比，符合拉格朗日中值公式的形式，則用拉格朗日中值定理證明之.此時，所要構造的函數可以直接觀察得出.

構造函數法中有一種重要的方法，就是利用凹凸性來證明不等式函數方程，我們通過構造函數法形成一個輔助函數，利用函數方程中的凹凸定義，從而對不等式進行證明，達到預期的效果.有時候可以構造輔助函數，利用函數凹凸定義，證明某些不等式.

對于那些函數不等式中包含有等號的，可以通過利用函數最大值或最小值來進行相關證明，如果出現函數方程在區間內不發生變號的時候，則不能通過構造函數法利用簡單的單調性進行證明，因為如果利用單調性進行證明的時候需要分很多種情況進行討論，往往會因為粗心大意造成情況的遺漏，相對會比較麻煩.此時我們可以通過函數方程中最值的思想進行證明.

總結

構造函數法在高等數學解題中的應用還有很多，都可以使得很多復雜的問題簡單化，除了介紹的應用外還可以進行相關數值的近似計算、求解函數值等.構造函數的方法不勝枚舉，需要合理巧妙地運用，具體問題進行具體分析，根據經驗構造合適的函數.關于構造函數法的具體相關技巧性，我們需要進一步探討.

【參考文獻】

＼[1＼]郭靜莉.構造函數法在高等數學解題中的應用＼[J＼].赤峰學院學報（科學教育版），2011，3（2）：1-2.

＼[2＼]李智.淺談高等數學解題中構造函數法的應用＼[J＼].科技資訊，2008（16）：204-205.