從學生錯誤中尋覓數列題中的數學思想

張茂紅

古人說：“授人以魚，不如授之以漁”，它道出了數學思想方法的重要性.數學思想方法和基礎知識是數學結構中兩大支柱.因此需要教師在傳授知識的同時，明確、恰當地講解與滲透數學思想方法.特別是在解題教學中，應重視思路分析，提煉具有普遍意義的思想和方法.當學生明確了數學思想方法在解題中的指導作用后，具體的解題技巧就會上升為一般的解題方法，從而使學生超脫題海之苦，大大優化學生的思維品質.下面筆者就結合自己教學中對于學生出現的錯誤談談數列中的數學思想，希望和同仁交流.

一、類比思想

類比法就是依據兩個數學對象的已知相似性，把其中一個數學對象已知的特殊性質遷移到另一個數學對象上去，從而獲得后一數學對象的性質的一種方法.

在蘇科版必修5第二章《數列》共分三個部分，數列的概念、等差數列、等比數列三個部分.其中等差和等比的學習過程充分體現出類比思想.

案例1已知數列{an}滿足a1=1，an+an-1=12n（n≥2），Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n，則3Sn-an·2n+1=▲ .

馬同學錯誤分析：題干中提到數列遞推關系，用了很長的時間從累加法、累成法、構造新數列法去分析，也沒有求出通項，后來由于畏難心理以及數列求和方法（錯位相減法）忘記.將題目留到了最后，又因為時間緊，根本來不及思考計算.

點評學生易于受an+an-1=12n的影響，求不出通項an，使得心理上失去了信心，對其他的條件也就不去思考分析了.而本題應該從Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n①的形式類比課本中學習的等比求和的方法（錯位相減法）入手，兩邊同時乘以2，得2Sn=a1·22+a2·23+…+an·2n+1②，①+②得到3Sn-an·2n+1=n+1.

二、參數思想和分類討論的思想

數學中的參數是介于常量和變量之間的具有中間性質的量，參數本質雖然屬于變量，但又可以把它看成是常數.

分類討論思想是高中數學中一種極其重要的數學思想方法.通過分類可以把動態問題分解成若干個相對確定的問題，可以把一個復雜的問題分解成若干個相對簡單的問題，這樣可以圓滿解決問題.

案例2若已知數列{an}是首項為6-12t，公差為6的等差數列，數列bn 的前n項和為Sn=3n-t.

（1）求數列{an}和bn的通項公式；

（2）若數列bn是等比數列，試證明：對于任意的n（n∈N*，n≥1），均存在正整數cn，使得bn+1=acn，并求數列cn的前n項和Tn.

吳同學錯誤分析：本題很容易求出an=6n-12t，很好求，但是由于始終覺得t可以求出來，加上在求bn時忽略了n=1的情況，直接用an=Sn-Sn-1來計算，從而得到了一個bn為等比的一個通項公式.

點評本題在學生錯誤中發現，絕大多數學生在求（1）時就出現了錯誤.錯誤分為兩類思想問題：（1）參數t在本題中應該視為常數，結果應該保留t.（2）對于Sn=3n-t求通項an時沒有分類討論，即an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.

三、函數思想

函數思想是變量與變量的一種對應的思想.而在數列中無論是an與n還是Sn與n都可以視為函數.比如等差數列中an可以視為關于n的一次函數，Sn可以視為關于n的二次函數.另外函數的性質也在數列中廣泛應用.

案例3已知數列{an}，bn滿足an=12bn.

（1）若數列bn是等差數列，求證{an}是等比數列；

（2）若數列{an}的前n項和為Sn=1-12n，設對于任意的正整數n，恒有

1an>λ1+12b1-11+12b2-11+12b3-1…1+12bn-1成立，試求實數λ的取值范圍.

張同學錯誤分析：題（1）很容易，題（2）做出λ<2n×1×3×5×…×（2n-1）2×4×6×…×2n后下面不知道如何求解了.

點評對于λ<2n×1×3×5×…×（2n-1）2×4×6×…×2n，要求出Tn=2n×1×3×5×…×2n-12×4×6×…×2n的最小值，這時應該把Tn看作函數來思考，根據函數的單調性來研究最小值問題.所以求出Tn+1-Tn>0或Tn+1Tn>1得出數列Tn是單調增函數，故λ

數學思想方法的形成，非一日之功，必須經過日積月累.對于教學而言，知識的發生過程，實際上就是思想方法的發生過程.因此，在概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、規律的揭示過程中都應向學生滲透數學思想方法，我們在解題教學中，不能就題論題，把題目解出來就完了，而應從數學思想方法的高度來指導解題教學，逐漸培養學生學會用數學思想方法觀察、比較、分類、綜合、抽象、概括問題的習慣，達到增進能力、優化思維的目的.

【參考文獻】

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