聚焦中考真題談相似三角形的復習

程曉花

安徽省中考數學試卷，歷來都注重對相似形的判定、性質及應用能力的考查，筆者查閱了2005～2013年安徽省中考數學試卷，就相似三角形考題作如下統計：

從上表可以看出，近9年中，相似三角形是年年必考，在連續性考查的同時，考點內容又相對穩定. 如作圖考查了3次，判定考查了4次，性質則是每年必考，同時注重學科內知識的綜合. 尤其值得一提的是，9年中有6次出現了對相似基本圖形的考查. 這些信息給我們的中考復習帶來有效的指導. 筆者不避粗陋，來談談相似三角形的復習，與同仁分享，也請大家指正.

一、注重知識的重組優化

片段一 下列命題中哪些是正確的，哪些是錯誤的？請說明理由.

（1）所有的直角三角形都相似；

（2）所有的等腰三角形都相似；

（3）所有的等腰直角三角形都相似；

（4）所有的等邊三角形都相似；

（5）有一個角是100°的兩個等腰三角形相似；

（6）有一個角是70°的兩個等腰三角形相似.

判斷一系列特殊的三角形間是否具備相似性，復習了相似三角形的判定定理，在學生說理中，加強對知識的辨析與鞏固，開拓了學生的空間想象能力和思維能力，獲得知識的重新構建.

鞏固提升：如圖1～6，請寫出相似的三角形，并證明.

從說理到證明，訓練學生口頭表達及書寫能力，并提高學生圖形語言、符號語言、文字語言等的靈活應用. 圖1和圖4都是平行條件下相似三角形的A型和X型. 當兩個三角形存在公共角時，若公共角的對邊不平行，如果滿足另一組角對應相等或是公共角的兩邊對應成比例，也就是圖2，3，5，就是仿A型，其中圖3的三個直角三角形都相似，又稱為母子型. 若上述公共角為對頂角，則是仿X型，如圖6.

二、注重基本圖形的應用

片段二 新基本圖形：M型

我們要從復雜圖形中分離出基本數學模型，這樣對解決問題有化繁為簡的效果.

（2004年安徽，19）如圖7，已知△ABC，△DEF均為正三角形，D，E分別在AB，BC上.請找出一個與△DBE相似的三角形，并證明.

證明 △DBE∽△ECH. 理由如下：

法一 ∵△DBE與△ECH中，

∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°，

∴∠BDE + ∠BED = 120°，

∠BED + ∠CEH = 120°，

∴ ∠BDE = ∠CEH.

∴ △DBE ∽ △ECH.

法二 ∵△DBE與△ECH中，

∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°，

又∵ ∠CEH + ∠DEF = ∠BDE + ∠B，

∴ ∠BDE = ∠CEH，∴ △DBE ∽ △ECH.

解法一用到了三角形內角和定理與平角的定義，解法二則用到了三角形外角和定理的推論，即三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，由此可看出，本題中的60°并沒有起到實質性的作用，只要∠B = ∠C = ∠DEF，就必有△DBE∽△ECH，同理我們還能得到△DBE∽△GAD. 不難發現∠B，∠C，∠EDF這三個相等的角的頂點在同一條直線上，把具備這種條件的圖形稱為“一線三等角”型基本圖形.

為了和前面的A型、X型等基本圖形敘述上的一致，并且便于學生直觀形象記憶，筆者習慣上把它稱為M型（折線段BDEFC就像大寫字母M）.

（2009年安徽，22）如圖8，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME = ∠A = ∠B = α，且DM交AC于F，ME交BC于G.

（1）寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；

當年的評分標準是寫出兩對相似的三角形即可，其中△AFM∽△BMG是M型，是學生不容易找出來的. 若是熟悉了M型，問題也就迎刃而解了.

三、注重對“翻新題”的試題研究

中考一直強調對創新意識和自主探究能力的考查，中考命題從2004年起經歷了起步期、發展期，近年來考題已趨于穩定，有很多中考題都是以往中考題的“翻新題”. 如2003年和2011年的第10題，都是動點問題，都是利用相似三角形對應邊成比例這一性質定理得到的分段函數關系式，體現了數形結合和分類討論思想. 八年后，題目重現，只是條件中的平行四邊形改成菱形，更為特殊了，是一道翻新題.

四、注重數學思想方法的教學

片段三 如圖9，在Rt△ABC中，∠C = 90°，點D在AC上，已知AB = 5，AC = 3，AD = 1.

（1）在AB上取一點E，使△AED與原三角形相似；

（2）在三角形邊上取一點，使△AED與原三角形相似.

此題通過作平行線構造相似三角形的A型來研究，使學生加深對判定定理的理解及應用，同時考慮到結論的不唯一性，培養學生分類討論的思想. 2013年第23題也用到同種方法.

上述四點是通過對近年來中考真題分析得出的，以真題促教學，借此來提高復習效率.