“正弦定理”的教法探討

毛銘樺

【摘要】文章針對高職數學教材中的“正弦定理”這部分教學內容進行教法上的探討，給出了一套行之有效的教學方法.

【關鍵詞】正弦定理

【基金項目】江蘇省高等學校大學生實踐創新訓練計劃項目

正弦定理是五年制高職數學第一冊的一個重點內容，正弦定理在實際問題中的應用也很廣泛，針對正弦定理這一節的教學，總結了一套比較適合高職學生接受能力的教學方法：首先設置求三角形面積的問題情境，通過教師引導學生分析猜想并最終解決問題；其次簡單推導正弦定理，并指出使用定理的注意問題；最后通過典型例題指出定理所能解決的問題.

一、設置問題

結合高職學生的學習情況，在給出正弦定理的正式內容之前，筆者首先設置了一個問題，即給出一個任意的△ABC，假設角A，角B，角C，以及三條對邊的長度a，b，c都已知，提出問題：怎樣計算△ABC的面積？

復習回憶計算△ABC的面積公式，即S△ABC=12×底×高.在思考如何計算高的時候，作出△ABC邊BC上的高AD，引導學生分析如何得到高AD的長度.在直角△ABD中，sinB=ADAB，于是AD=AB·sinB=c·sinB，因此S△ABC=12×BC×AD=12acsinB.

同樣，在直角△ACD中，sinC=ADAC，于是AD=AC·sinC=b·sinC，因此S△ABC=12×BC×AD=12absinC.類比這兩個求△ABC面積的公式，引導學生發現它們的形式上的共性，請學生猜想出其他形式的面積公式.經過討論，由成績較好的學生給出第三個求△ABC面積的公式S△ABC=12bcsinA，筆者對此給出簡單的證明.

二、定理的推導

建立三個求面積的公式的連等式12bcsinA=12acsinB=12absinC，將該等式同時除以12abc，再同時取倒數即得正弦定理的公式asinA=bsinB=csinC.正弦定理描述的是任意一個三角形，其三條邊與其所對角的正弦之比彼此相等.利用正弦定理之前，必須保證有一條邊和其所對角的正弦要已知，再考慮其他邊和角的求解問題.

三、舉例解釋定理所能解決的問題

正弦定理建立的是三角形的邊和角的數量關系，其中包含六個數量，如果知道其中的兩個角和一條邊，或者知道兩條邊及其中一條邊所對角的正弦，就能夠解決其余未知的角和邊的數值問題.比如下面兩個問題：

例1在△ABC中，B=45°，C=120°，AB=2，求AC.

分析給出的已知條件是角B和角C，以及角C的對邊AB，要計算的是角B的對邊AC，

因此由正弦定理不難列出式子ACsinB=ABsinC，于是可得

AC=ABsinC·sinB=2sin120°·sin45°=233.

例2在△ABC中，AB=2，BC=2，C=45°，求sinA.

分析給出的已知條件是兩條邊AB和BC，以及AB的對角C，要解決的是邊BC的對角A的正弦，利用正弦定理列式ABsinC=BCsinA，于是可解得

sinA=sinCAB·BC=sin45°2×2=12.

【參考文獻】

《數學》編寫組編.數學（第一冊）＼[M＼].蘇州：蘇州大學出版社，1998.