線性代數向量組正交化的教學改革

石新華

【摘要】多年來，線性代數課程中的向量組正交化的傳統方法，即施密特正交化過程.本文將使用齊次線性方程組求非零解的方法，將向量組正交化，產生一種新的構思.

【關鍵詞】向量組正交化；施密特正交化過程；齊次線性方程組；非零解

一、引言

近年來，大學一年級第二學期的線性代數課程使用教材是同濟大學數學系編第五版.其中第五章相似矩陣與二次型中一個重要的內容是向量組的正交化.多年來很多教材都是沿用施密特正交化過程方法.5-1向量的內積、長度及正交性中，使用向量的內積的概念定義了兩個向量正交的概念，即當＼[x，y＼]=0時，稱向量x與y正交.所謂正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量.

在線性代數應用問題中，向量組的正交性具有重要意義.

設給定一個線性無關的向量組A： α1，α2，…，αm，則一定存在另一個向量組B： β1，β2，…，βm.滿足：（1）向量組B是正交向量組；（2）向量組A和向量組B等價.

設a1，a2，…，ar是向量空間V的一個基，要求V的一個規范正交基.這也就是要找一組兩兩正交的單位向量e1，e2，…，er使得與之等價.這樣一個問題，稱為把這個基規范正交化.

這個問題是線性代數課程知識結構和教學中的重要內容.一般教材的核心思想就是施密特（Schimidt）正交化過程.