大學(xué)解析幾何教學(xué)中提升思維能力探討

【摘要】現(xiàn)行高校的高等數(shù)學(xué)教材下冊(cè)第一章是向量代數(shù)與空間解析幾何的內(nèi)容，而向量代數(shù)與下冊(cè)后續(xù)章節(jié)沒(méi)有聯(lián)系.因此很多學(xué)生對(duì)于這一章的學(xué)習(xí)有些茫然，無(wú)法與其他內(nèi)容建立緊密的聯(lián)系，在接受上也產(chǎn)生了一些障礙.本文希望從能力提升的角度談?wù)勗摬糠值慕膛c學(xué).

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；向量代數(shù)；空間解析幾何；思維能力和品質(zhì)；空間想象力

同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》下冊(cè)的第一章就是向量代數(shù)與解析幾何的內(nèi)容.從多年教學(xué)來(lái)看，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)經(jīng)常被一些問(wèn)題所困擾.本文談?wù)勂毡榈囊恍﹩?wèn)題并給出一些學(xué)習(xí)建議.希望能提升學(xué)生的思維能力和品質(zhì)，主要包含幾何問(wèn)題和代數(shù)手段相互轉(zhuǎn)化的能力以及空間想象能力.

首先，讓學(xué)生注意本章可分為兩塊內(nèi)容：向量代數(shù)和解析幾何.向量代數(shù)是解析幾何的基礎(chǔ)（特別是直線、平面、線面關(guān)系等內(nèi)容需要向量代數(shù)）.有了向量的運(yùn)算規(guī)則，很多幾何問(wèn)題可以非常方便的用代數(shù)化手段來(lái)解決.

書(shū)本對(duì)向量代數(shù)這一塊的安排是先看幾何直觀（有向線段、四邊形法則等），然后是向量的坐標(biāo)表示，即代數(shù)化.這樣的次序是人們認(rèn)識(shí)理解事物的自然次序.

需要讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)代數(shù)化的好處，可以讓直觀的東西變?yōu)楦永硇?、精確、定化.

避免直觀的粗糙和不嚴(yán)謹(jǐn).有了坐標(biāo)表示，就知道向量的精確位置.通過(guò)向量加減法的坐標(biāo)表示即可知道向量運(yùn)算之后的精確位置.

向量的點(diǎn)積與叉積需要從物理背景開(kāi)始引入.這樣，學(xué)生不會(huì)感覺(jué)太突兀，學(xué)習(xí)起來(lái)也更有興趣，成為有源之水.接著是點(diǎn)積與叉積的坐標(biāo)表示.點(diǎn)積很簡(jiǎn)單，容易計(jì)算.關(guān)鍵是叉積，借助行列式的形式便容易記憶.而學(xué)生在這個(gè)階段還沒(méi)學(xué)到行列式，因此有必要在課堂上補(bǔ)充一下二階與三階行列式的知識(shí)，磨刀不費(fèi)砍柴功，此處不可省略.

另外，對(duì)于點(diǎn)積和叉積的運(yùn)算性質(zhì)要特別注意異同點(diǎn).點(diǎn)積有交換律，而叉積是反交換律；它們的結(jié)合律都是指常數(shù)與向量乘積時(shí)常數(shù)的位置靈活；而向量直接做點(diǎn)積叉積時(shí)運(yùn)算次序不可隨意變化！

其次，讓學(xué)生注意解析幾何中的平面與直線這兩塊內(nèi)容離不開(kāi)向量的運(yùn)算.對(duì)平面關(guān)鍵是法向量，直線的關(guān)鍵是方向向量.線線（面）的平行、垂直都通過(guò)法向量和方向向量來(lái)判斷，即通過(guò)坐標(biāo)的運(yùn)算判斷.會(huì)利用已知條件求直線和平面方程.

對(duì)于直線有兩種主要的形式：點(diǎn)向式和一般式.學(xué)生應(yīng)該掌握兩者的相互轉(zhuǎn)換.其中包含了向量的重要運(yùn)算.有一類問(wèn)題是關(guān)于線線有交點(diǎn)或線面有交點(diǎn)的情形，需要讓學(xué)生掌握此類問(wèn)題的通用做法是設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)參數(shù)形式來(lái)設(shè)，這樣只有一個(gè)參量t需要求，大大地簡(jiǎn)化了計(jì)算.

最后，對(duì)于解析幾何中常見(jiàn)曲面的方程和圖形的學(xué)習(xí)，老師需要利用這部分內(nèi)容有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生多做空間想象.基于曲面方程，利用截痕法、旋轉(zhuǎn)法、坐標(biāo)拉伸法粗略畫(huà)出示意圖.掌握常見(jiàn)圖形的基本形狀對(duì)于后面積分的學(xué)習(xí)是非常必要的.所以這里是提高空間想象力的好機(jī)會(huì)，對(duì)于今后的一些工程作圖、圖紙?jiān)O(shè)計(jì)等工作也是有很大的促進(jìn)作用.

總之，需要引導(dǎo)學(xué)生重視《高等數(shù)學(xué)》下冊(cè)的這一章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，以提升能力為根本目標(biāo)，掌握基本理論和方法，塑造良好的思維品質(zhì).學(xué)生意識(shí)到該部分對(duì)能力提升的意義便會(huì)提高學(xué)習(xí)興趣和自主性，從而提高學(xué)習(xí)效果，教與學(xué)互相促進(jìn)，有利于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).達(dá)到真正教書(shū)育人的目的.

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