由一個錯誤案例引發的思考

尚軍 尤中華

【摘要】 學生的數學經驗是學生學習數學的重要基礎. 在數學教學時，我們要從學生已經具備的數學經驗出發，讓學生產生新的數學經驗，讓學生學會用發展的眼光來看待老經驗. 數學教學時，除了備教材，還要備學生的數學經驗，要讓所有學習任務都建立在學生的數學經驗基礎之上.

【關鍵詞】 老經驗；新問題

教學案例：人教版小學數學六年級上冊第72頁第9題（見下圖）：

教學片斷：

當學生完成這一道題目之后，教師為了拓展學生對圓的知識的理解，就根據這道題型拋出了一道題讓學生解答：在一個長20厘米、寬4厘米的長方形內剪直徑為4厘米的圓，可以剪幾個？學生根據以前學習過的長方形與正方形的相關知識經驗（都是用大圖形的面積來除以小圖形的面積而得出來的），許多學生都列出了這樣的式子，20 × 4 ÷ [3.14 × （4 ÷ 2）2] ≈ 6.37（個），所以這些學生都得出了一個答案，就是利用去尾法得到大約可以剪6個. 其實這道題利用以往的知識經驗來解答是錯誤的，但是如何糾正學生的錯誤呢？

師：大家請看，這樣的解法對嗎？下面小組討論一下，也可以畫圖來解決.

學生小組討論.

生1：我感覺不對. 因為當我們在這個長方形中剪去一個圓的時候，圓的四周被剪下來的都沒有用了，它應該從長方形面積中減去才行.

師：你很會思考. 其他同學，誰想說一說自己的發現呢？

生2：我通過畫圖，發現這個長方形只能剪5個直徑是4厘米的圓，根本剪不了6個，是什么原因呀？（這名同學抓耳撓腮，一副百思不得其解的樣子）

師：對，是什么原因呀？按照以往的經驗，這張長方形紙可以剪6個圓，但是實際操作卻只能剪4個. 大家再回憶一下生1的思考，想一想，會是什么原因呢？

生3：我知道了，其實這道題目根本不能用長方形的面積除以圓的面積，根據我們剛才做課本上第9題的經驗，在一個正方形里剪一個最大的圓，那么這個圓的直徑就是這個正方形的邊長，所以，在這個長方形里剪直徑是4厘米的圓，就說明這個圓的直徑就是長方形的寬，也就是說，只要看長方形的長可以剪幾個這樣的寬，就可以剪幾個圓了. 所以，我認為應該用20 ÷ 4 = 5（個）.

這名學生的回答引發了許多學生的舉手，紛紛想表達自己的見解.

生4：根據剛才解決課本第9題的經驗，在一個正方形里剪一個最大的圓，那么，這個圓的面積就是這個正方形面積的二百分之一百五十七，所以，在這個長方形里剪出來的圓的面積和應該是20 × 4 × ■ = 62.8（平方厘米）.

……

師：講得很有道理，如果在這個長方形中剪直徑為2厘米的圓，那么最多可以剪多少個呢？

（學生紛紛計算起來）

生5：根據剛才的分析，其實剛才是剪直徑為4厘米的圓，可以剪5個，現在剪直徑為2厘米的圓，可以剪的個數是直徑為4厘米圓的2倍，也就是說可以剪10個.

生6：不對，不對，我是這樣計算的，（20 ÷ 2） × （4 ÷ 2） = 20（個）.

師：到底哪一種計算方法對呢？大家再討論一下，想一想.

（學生小組討論）

生7：我認為生5是錯誤的，因為邊長為4厘米的正方形中可以剪4個直徑為2厘米的圓，所以，應該是20個.

師：你能到前面演示給大家看嗎？

生7到講臺前演示.

師：大家看懂了嗎？（生紛紛點頭）看來老經驗不一定能解決新的問題了. 當遇到新的問題時，我們就要換一種角度來思考，而不能只憑借老經驗來思考，這樣，就不會出現錯誤啦.

……

思考：

雖然在解決這一道題目時浪費了課堂時間，但是我心中有一種說不出的高興，因為在這一道題目的教學過程中，我讓學生明白了一個道理：不能用老眼光來看新問題，做任何事情都要以發展的眼光來解決問題，都要尊重當時的問題情境與條件，運用已經有的知識經驗來解決問題. 在高興之余，我也陷入了深深的思考之中.

1. 在進行教學準備與教學設計時，我們的著眼點不能只是教材的內容，還應關注學生的知識經驗水平. 我們要考慮到學生為這些新知識的學習已經儲備了哪些知識經驗，這些知識經驗會不會把學生引入誤區. 但是，在平時的課前準備過程中，有些教師首先考慮的不是學生的知識經驗水平，而是把重點放在如何設計一些練習題上，讓學生鞏固、強化所學知識. 關注點是應該向學生傳授哪些知識，而不是學生能不能接受這些知識. 我想，我們的教學設計首先考慮的應該是學生，這也就是我們平時說的“備學生”. 在進行教學設計之前，要先考慮到學生，分析學生，然后根據學生的實際情況來設計教學活動. 就像這道題目的教學，我根據教材第72頁第9題來拓展一下內容，其目的就是想讓學生在原來的知識系統中增加一些新的元素，以備將來靈活運用. 但是我卻沒有考慮到學生會受前面知識經驗的影響，結果就造成了錯誤. 值得慶幸的是，我及時發現了問題，及時調整了教學方向，變錯誤資源為有用資源，讓學生在錯誤資源中汲取新的知識. 如果教學這一道題之前，我走進學生，了解了學生，那么在教學時也就不會出現臨時變更教學節奏的現象了. 所以，在每一節課教學之前，我們要先了解學生的知識與技能儲備，哪些問題學生可以輕而易舉地解決，哪些問題學生需要獨立思考才可以解決，哪些問題需要學生在一起合作討論甚至是教師的講解引導才能解決. 這些在課前都要做到胸有丘壑，這時，我們再來設計課堂教學，才能做到有的放矢.

2. 關注教材信息，更應該關注學生的經驗. 數學教學資源有千萬種，但是最基礎的兩種就是教材資源與學生經驗. 教材資源所提供的信息必須通過學生的經驗來吸收與內化，必須通過學生的知識經驗來提升，這樣才能讓學生形成新的知識經驗. 如果學生沒有將學習內容內化為自己的知識經驗，那么，這樣的學習就不是真正意義上的學習，甚至可以說是無效的學習. 像案例中，當學生具備了在一個長方形中剪若干個圓的知識經驗基礎時，隨后讓學生再深化這方面的知識，剪更小的圓，學生就可以通過前面已經形成的知識經驗來解決這個問題，雖然也會出現差錯，但是當正確的答案呈現在他們面前時，不用多講，學生就可以明白這一類題目的解題策略了. 所以，在教學時，我們應努力將課本資源信息與學生的知識經驗有機地整合，只有這樣，學生的知識經驗系統才能更進一步地豐富，才能在以后的學習過程中產生更多的解題策略，才能更有效地解決一些實際問題. 如果我們只關注自己的預設，那么就會忽略來自學生的一些生成信息，而把學生的思維硬性拉到老師的預設當中來，甚至是親自演示來驗證自己的預設，這些都是不可取的. 當學生生成一些新的信息時，哪怕是錯誤的信息，我們都要珍惜，本案例的成功之處就是我及時發現了學生的知識經驗基礎，并根據學生的知識經驗基礎來及時調整教學，根據課堂上的生成及時調整預設，而不是強硬地執行自己的預設. 這樣，才能收獲事半功倍的效果.

整個教學案例讓我深深體會到，學生在數學課堂上出現的錯誤往往是學生最真實的經驗體現，面對這些錯誤，我們應及時調整方案，這樣就會迸發出一個又一個精彩的瞬間.

【參考文獻】

[1]李祎.數學教學方法論[M].福州：福建教育出版社，2010.

[2]王惠.如何培養小學生數學學習的興趣[J].教科文匯，2009.