設計開放性復習情境 培養學生的數學意識

徐成燈

設計“一題多式”的開放性復習情境，讓學生在富有思考性、探索性、挑戰性的學習中，知識得到系統化，思維得到錘煉，能力得到培養，能有效地培養學生的數學意識. 本文結合筆者的教學實踐談談，在開放性的問題情境中，如何培養學生的數學意識.

一、設計一題多問，培養問題意識

2011年版課標在課程目標的總目標中提出：通過義務教育階段的數學學習，學生能體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力. 因此，對于一道習題，讓學生從多角度、多方面提出問題，不僅能“練一題，帶一串”，溝通數學知識之間的聯系，更可貴的是從中培養學生的問題意識.

比如，進行蘇教版四年級下冊（下文的復習例子均是）“因數與倍數”知識復習時，我出示：在1～20中，素數有 ，合數有 ，奇數有 ，偶數有 . 待學生完成后，我趁機提出：觀察這四組數，你能提出哪些數學問題？學生經過觀察分析提出：非0自然數按因數的個數分為什么？按是不是2的倍數又分為什么？1為什么既不是素數又不是合數？既是素數又是偶數是什么數？20以內既是奇數又是合數是什么數？最小合數是什么數？最小素數是什么數？素數都是奇數嗎？請舉例說明，等等. 這樣，在復習素數、合數、奇數、偶數的基礎上，通過這一問不僅讓學生加深對這四個概念的區別，又從中培養了學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

二、設計一題多解，提煉解題方法

設計一題多解的問題，讓學生從不同角度思考，用多種思路或方法去解答，再引導學生比較各種解法，從中提煉解題方法，從而有效溝通數學知識之間的聯系，凸顯知識的綜合運用.

如，在復習利用畫圖策略解決問題時，筆者有意識地設計這樣一道題：一個長方形操場，長80米，寬60米，現因操場擴建，長和寬都增加了20米. 操場面積增加了多少平方米？

復習時，我完全放手讓學生根據題意畫好示意圖，再根據示意圖多角度思考，從而得到以下示意圖以及相應的解法：

解法一：常規解法，根據擴建后的面積減去原來的面積等于增加的面積進行思考，分為三步走：先求出原來長方形操場的面積是80 × 60 = 4800（平方米），再求出擴建后操場的面積是（80 + 20） × （60 + 20） = 8000（平方米），最后求增加部分的面積是8000 - 4800 = 3200（平方米）. （見圖一）

解法二：轉化解法，因為擴建后增加部分操場的面積是不規則的，從把不規則圖形轉化為規則圖形的角度思考，可以把增加部分操場的面積沿長方向分成A，B兩個長方形，分為三步走：先求出A塊長方形操場的面積是（80 + 20） × 20 = 2000（平方米），再求出B塊長方形操場的面積是60 × 20 = 1200（平方米），最后求出增加部分操場的面積是2000 + 1200 = 3200（平方米）. （見圖二）

解法三：轉化解法，根據解法二的思考路徑，把增加部分操場的面積沿寬方向分為A，B兩塊長方形，先求出A塊長方形操場的面積是80 × 20 = 1600（平方米），再求出B塊長方形操場的面積是（60+20） × 20 = 1600（平方米），最后求增加部分操場的面積是1600+1600 = 3200（平方米）. （見圖三）

解法四：還是根據解法二的思考路徑，把增加部分長方形操場的面積分為A，B，C三塊，A塊長方形操場的面積是80 × 20 = 1600（平方米），B塊長方形操場的面積是20 × 20 = 400（平方米），C塊長方形操場的面積是60 × 20 = 1200（平方米），增加部分操場的面積是1600 + 400 + 1200 = 3200（平方米）. （見圖四）

解法五：根據長與寬都增加20米，把A、B、C三塊拼成一個大長方形，增加部分操場的面積是（80 + 20 + 60） × 20 = 3200（平方米）. （見圖五）

教師對學生的五種解法充分肯定后，引導學生對此進行分析、比較. 在比較中發現：方法一是根據大面積減小面積進行計算；方法二、三、四是把不規則圖形分割成兩個或三個基本圖形，再相加求面積；方法五是將不規則圖形先分割再拼成規則圖形，再求面積. 不管是割、拼，都是將不規則圖形轉化為規則圖形，然后再進行計算.

許多教師在教學中，僅僅滿足于讓學生把各種不同的方法展示出來，就認為教學目標達到了，殊不知這樣的結果“星星還是那個星星，月亮還是那個月亮”，學生根本就沒有顧及或接納別人的方法，更談不上從中抽象出基本的數學方法了. 只有展示沒有提煉的教學只是同一思維層面上不同解法的交流，對于提升學生的思維能力沒有多大價值. 案例中的教師，不僅僅滿足于讓學生把各種不同的方法展示出來，而是抓住時機，引領學生進行觀察、分析，尋找解法之間的聯系，這樣有效地促進了學生由表及里地思考，提高了學生的解題能力和數學素養.

三、設計一題多變，理清來龍去脈

對于同一道習題，不斷改變它的條件或問題，使學生看清題目之間的聯系，掌握題目的來龍去脈，對提高復習效率有明顯的效果.

如，在復習解決三步問題時，筆者以學生易錯的一道題“鋪一間教室，用邊長4分米的方磚，需要300塊，如改用面積25平方分米的方磚，需要多少塊？”為原題，在師生交流中生成以下姐妹題：

1. 鋪一間教室，用面積16平方分米的方磚，需要300塊；如改用面積25平方分米的方磚，需要多少塊？

2. 鋪一間教室，用面積16平方分米的方磚，需要300塊；如改用邊長5分米的方磚，需要多少塊？

3. 鋪一間教室，用邊長4分米的方磚，需要300塊；如改用邊長5分米的方磚，需要多少塊？

4. 鋪一間教室，用邊長4分米的方磚，需要300塊；如只需160塊方磚，需要面積多大的方磚？

這樣通過不斷改變原題的條件、問題，讓學生在比較、辨別異同中，理清問題的來龍去脈，逐步完善認知結構，進一步加深學生對知識的理解，提高復習效率.

四、設計一題多“能”，盤活思維廣度

教師在設計復習題時，有意去掉題中的某個關鍵詞，使它變成一道含有多種可能的開放性問題. 引領學生深入思考、全面分析，盤活思維廣度，提高復習效能.

如，筆者在復習用畫圖策略解決行程問題時，有意識設計了這樣一道題：在一條公路上，客車和貨車同時從相距80千米的兩地開出. 客車每小時行駛42千米，貨車每小時行駛48千米，開出多長時間兩車相距100千米？（請考慮各種情況，畫圖只列式不計算）

由于題中兩車所在的方向不明確，故本題就可以引導學生仔細分析，全盤思考，分多種情況一一考慮：

1. 客、貨兩車相向而行，相遇后又繼續行駛，至兩車相距100千米. （圖略）這樣考慮求兩車開出需要的時間，列式：（100 + 80） ÷ （42 + 48）.

2. 客、貨兩車相背而行，即按相反方向行駛，至兩車相距100千米. （圖略）這樣考慮求兩車開出需要的時間，列式：（100 - 80） ÷ （42 + 48）.

3. 客、貨兩車同向而行，又分兩種情況：

（1）貨車追客車（圖略）. 根據兩車已經相距80千米，如果兩車要相距100千米，那貨車應比客車多行駛100 + 80 = 180（千米），求兩車開出需要的時間，列式：（100 + 80） ÷ （48 - 42）.

（2）客車追貨車（圖略）. 因為客車的速度比貨車慢，只要貨車比客車多行駛100 - 80 = 20（千米）時，兩車就相距100千米，所以求兩車開出需要的時間，列式：（100 - 80） ÷ （48 - 42）.

去掉兩車行駛方向這一條件，一道封閉題就變成了一道開放題，并囊括了行程問題的三種方向問題. 學生在解題過程中不僅要考慮兩車的方向，還要考慮每種方向的解答情況，既培養了學生的有序思維，又盤活思維廣度.

五、設計一題多“聯”，滲透數學思想

比如，復習三步應用題時，為了讓學生由表及里地理解“剩下的部分=總數-用去的部分”這個數量關系，我先出示這道題：一堆煤重300千克，每天用去15千克，用了8天，剩下的煤每天用20千克，還能用多少天？待學生完成反饋之后，我順勢提問：看到“剩下的煤”你想到什么數量關系？根據這一數量關系，你能變換情節，編制出相應的應用題嗎？同桌互相討論. 反饋時，展示學生編擬的問題，有的學生將情節換成看一本書；有的學生將情節換成修一條水溝；有的學生將情節換成吃一袋米；還有的學生將情節變換成兩個量的比較：師徒兩人完成300個零件，徒弟每天完成15個，工作了8天，剩下的零件由師傅完成，師傅每天完成20個，還要多少天？等等. 這樣的復習，改變了就題練題的單調性. 由一題“聯”多題，激發了學生的興趣，在編題時充分開放學生的思維，有利于培養學生思維的開闊性；在展示、對比中有利于學生感悟不管情節怎樣變化，題中的數量關系始終不變，滲透變中尋不變的思想，培養學生透過現象看本質的能力.

總之，在復習過程中，教師應精選習題，活用習題，充分發揮“一題多式”的多種訓練功能，從而切實有效提高復習課的教學效率，培養學生的數學意識.