用方程思想解決幾何問題

郭愛青

《數學課程標準》明確提出：獲得必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能，讓學生初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識，具有初步的創新精神和實踐能力.

“方程思想在解決幾何問題中的應用”是通過方程把幾何與代數內容有機地結合起來. 在解決數學問題時，有一種從未知轉化為已知的手段就是通過設元，尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉化，這種解決問題的思想稱為方程思想. 方程思想在數學應用中無處不在，是探索數及實際問題中蘊含的關系與規律的有效工具，是發展學生符號感的重要手段，所以方程思想的地位極其重要. 用設未知數，用未知量表示已知量的方法，通過分析題中的等量關系，利用所學定理、性質等尋找出等量關系，從而有效地解決幾何內容與解方程的關系. 用方程思想解決實際應用題對于學生并不陌生，但它一旦與幾何問題相結合產生的效應往往讓學生眼前一亮.

一、加強題組訓練，讓學生體驗方程思想在解決簡單的幾何問題中的應用

1. Rt△ABC中，∠C = Rt∠，AC = 6，BC = 8，則斜邊AB上的高線CD的長是 .

解 設CD的長為x，由勾股定理，AC = 10.

方法1 利用面積法構造方程： × 6 × 8 = × 10·x，x = 4.8； = ，x = 4.8.

方法2 利用相似構造方程：易證△CDA∽△BCA.

2. 如圖，△ABC中，D，E是AB，AC上的點，且DE∥BC，若DE = 2，BC = 3，BD = 1，則AD的長是 .

解 利用相似構造方程：設AD的長為x，易證△ADE∽△ABC，∴ = ，x = 2.

3. 如圖，☉O的弦AB⊥半徑OE于D，若AB = 12，DE = 2，則☉O的半徑是 .

解 設☉O的半徑長為r，連接OA. 由垂徑定理得AD = BD = 6，再利用勾股定理構造方程：62 + （r - 2）2 = r2，r = 10.

通過題組訓練，可以讓學生得到利用方程思想解決幾何問題的基本思路：（1）審清題意，對題意中涉及的數量關系和位置關系進行標量；（2）設恰當的未知數，再標量；（3）根據面積法、相似法、勾股定理法、三角函數法等找出符合題意的等量關系，列方程或者方程組；（4）解方程（組）并檢驗，找到符合題意的答案.

二、適度的典型綜合題型的訓練及變式訓練，可以提高學生綜合分析問題的能力

（一）方程思想在解決有關折疊問題中的妙用

如圖，已知：矩形ABCD中，E是AB上一點，沿EC折疊，使點B落在AD邊的B′處，若AB = 6，BC = 10，求AE的長.

解 ∵ AD = BC = B′C = 10，AB = CD = 6，∠D = 90°，∴ B′D = 8，∴ AB′ = 2. 設AE = x，則BE = B′E = 6 - x.

方法1利用勾股定理法構造方程：

4 + x2 = （6 - x）2 ，x = .

方法2 利用相似法構造方程：

∵∠A = ∠D = 90°，∠B = ∠EB′C = 90°，∴ ∠AEB′ + ∠AB′E = 90°，∠DB′C + ∠AB′E = 90°， ∴∠AEB′ = ∠DB′C，∴△AEB′∽△DB′C. ∴ = ，∴ x = .

方法3 利用面積法構造方程：

∵ S1 + S2 + S3 + S4 = S矩形ABCD ，S3 = S4，

∴ x + 24 + 10（6 - x） = 60，∴ x = .

方法4 利用三角函數法構造方程：

由方法2中的∠AEB′ =∠DB′C得到它們兩個角在直角三角形中的正切值相等，構造方程 = ，∴ x = .

變式訓練：如圖，已知矩形ABCD中，E是AB上一點，沿EC折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，若AB = 6，BC = 8，求AE的長.

同樣地利用上述四個方法可以構造方程解決這一變式. 聰明的讀者不妨試試看，利用方程思想解決此類折疊問題有“山重水復疑無路 ，柳暗花明又一村”的感覺.

（二）方程思想在解決符合條件的點是否存在，或點的個數的方面的應用

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，AB = 1，CD = 6.若AD = 5，在線段AD上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在，請說明理由.

分析 解決此類相關問題，先假設存在，運用分類討論思想構造相似三角形，列出成比例線段構造方程解決問題.

解 假設存在，設AP = x. ∵ 在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，∴∠A + ∠D = 180°. ∴∠A = ∠D = 90°.

① 當∠APB = ∠DPC時，

∴△APB ∽ △DPC.

∴ = ，∴x = .

② 當∠APB = ∠DCP時，∴△APB ∽ △DCP.

∴ = ，x2 - 5x + 6 = 0.

∴x = 2或3，綜合①、②，在線段AD上存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似. 這樣的點P存在3個，它們到點A的距離AP分別是或2或3.

變式訓練：（1）若AD = 4，在線段AD上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在，說明理由.

分析 問題中的AD = 5變式換成AD = 4，其他條件保持不變時，則上述解答只是存在方程中的5 - x變換成4 - x的變化，其他解決問題的方法和思路保持不變. 簡單的解決問題的思路如下：

①當∠APB = ∠DPC時，∴ = ，∴ x = .

② 當∠APB = ∠DCP時，∴ = ，

∴ x2 - 4x + 6 = 0.

∵ b2 - 4ac = 16 - 24 < 0，

∴方程x2 - 4x + 6 = 0無實數根.

∴線段AD上存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似. 這樣的P點存在1個，到點A的距離AP是.

（2）若設AD=m，在線段AD上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在，請說明理由.

分析 把問題中的AD = 5變式換成AD = m，其他條件保持不變時，則上述解答只是存在方程中的5 - x變換成m - x的變化，其他解決問題的方法和思路保持不變. 分類討論問題①的解決中相應的點P總是存在一個，而且點P到點A的距離是AP = ，分類討論問題②的解決中相應的點P是否存在取決于方程x2 - mx + 6 = 0中的b2 - 4ac = m2 - 24的大小. 簡單的解決問題的思路如下：

①當∠APB = ∠DPC時，

∴ = ，∴ x = .

② 當∠APB = ∠DCP時，∴ = ，

∴ x2 - mx + 6 = 0.

∵b2 - 4ac = m2 - 24，∴當m > 2時，方程x2 - mx + 6 = 0有兩個不相等的實數根x1，2 = ；當m = 2時，方程x2 - mx + 6 = 0有相等的實根x1，2 = ；當m < 2時，方程x2 - mx + 6 = 0無實根.

∴綜合①、②，在線段AD上總存在點P，以P，A，B為頂點的三角形和以P，C，D為頂點的三角形相似.

當m > 2時， 這樣的點P存在3個，且它到點A的距離AP是或或；當m = 2時， 這樣的點P存在2個，且它到點A的距離AP是或；當m < 2時，這樣的點P存在1個，且到A的距離AP是.

總之，綜合原題及相應的變式訓練，我們發現用方程思想解決此類點的存在與否及存在相應點的個數的確定更多地轉化為一元二次方程的解的個數問題來解決.

方程思想應用非常廣泛，而許多同學在學習中往往見到了方程才想到用方程的思想來解決，事實上熟練地利用方程思想解決問題學生要做到以下三點：（1） 要具有正確列出方程的能力. 正確列方程是關鍵，因此要根據已知條件，尋找等量關系列方程. （2）要具備用方程思想解題的意識. 有些幾何問題表面上看來與代數問題無關，但是利用代數方法——列方程來解決，因此要挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識，還有一些綜合問題，需要通過構造方程來解決. 在平時的學習中，應該不斷積累用方程思想解題的方法. 同時嘗試一題多解的方法，選擇最優方案. （3）要掌握運用方程思想解決問題的要點. 除了幾何的計算問題要使用方程或方程思想以外，經常需要用到方程思想的還有一元二次方程根的判別式，根與系數關系，方程、函數、不等式的關系等內容，在解決與這些內容有關的問題時要注意方程思想的應用.