兩圓外切問題教學中的研究

楊臣光

【摘要】 兩圓外切是一個重點部分，通過變式探究，可得出很多不同的結論.

【關鍵詞】 兩圓外切；變式探究；基本結論；變式結論

初中數學“圓”的內容中，兩圓外切是一個重點部分，課本中給出的例題只是一些簡單的結論，但老師們在教學中發現，通過變式探究，可得出很多不同的結論.

如圖1，☉O1與☉O2外切于點A， BC為兩圓外公切線，B，C為切點，AD為內公切線，AD與BC相交于點D，則有結論BA⊥AC.

這只是一個基本結論，以圖1為基本圖，我發現此圖形有許多的變式結論.

如圖2，連接BO1，CO2，連接DO1，交☉O1于E點，連接DO2，交☉O2于F點.

則有DO1垂直平分BA， E為弧AB中點， DO1平分∠BDA， E為△DBA內心；

同理有DO2垂直平分AC， F為弧AC中點，DO2平分∠ADC，F為△DAC內心；

若記☉O1半徑為R，☉O2半徑為r， 則有DA2 = R·r，或者BC = 2DA = 2.

以圖2為基本圖，如圖3：BC與O1O2的延長線相交于點P， 直線O1O2與☉O1交于點G，與☉O2交于點H， 連接BG， CH.

圖3中，變式結論有：

（1）找相似直角三角形：Rt△BGA∽Rt△ABC∽Rt△CAH∽Rt△DO1O2∽Rt△BO1D∽Rt△AO1D∽Rt△CDO2∽Rt△ADO2等.

（2）找平行：BG∥DO1∥CA，BA∥DO2∥CH，BO1∥CO2等.

（3）找比例關系形成的等式：PA2 = PG·PH = PC·PB，

PO2·PG = PA·PO1或PA·PO2 = PO1·PH， = = = ，等等.

（4）找相等的角：∠ADO1 = ∠BDO1 = ∠ABO1 = ∠BAO1 =∠DAC = ∠DCA = ∠AO2D = ∠CO2D = ∠O2CH = ∠O2HC，∠ADO2 = ∠CDO2 = ∠PCH = ∠ACO2 = ∠CAO2 = ∠DAB = ∠DBA = ∠BO1D = ∠AO1D = ∠O1BG = ∠O1GB，等.

以圖2為基本圖，如圖4：延長DO1交☉O1于M點，延長BO1 交☉O1于N點，過N點作☉O2的切線NK，切點為K.

由切割線定理可得DE·DM = DA2，由圖（2）的結論可知 DE·（DE + 2R） = Rr ，那么在已知R與r的情況下，根據求根公式可求得DE長度. 同理可求DF.

另一變式結論：由切割線定理和射影定理可得NK2 = NA·NC = NB2 = （2R）2，推出NK = 2R. 同理可得另一相似結論.

以圖2為基本圖，如圖5：

直線O1O2與☉O1交于E點，與☉O2交于F點，延長EB，FC交于點G，可證明G，D，A三點在同一條直線上，且可證明四邊形ABGC為矩形，此圖形常與二次函數相結合，考查學生的綜合解題能力，襄樊市2004年數學中考壓軸題即為此題型.

兩圓外切的變式是很有趣味的，筆者在此拋磚引玉，敬請大家指正.