歸納基本事實，重視符號表達

馬公仕

【基金項目】 本文為江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度重點資助課題“‘自學·議論·引導教學生態(tài)中的學生發(fā)展質(zhì)態(tài)研究”（課題編號為E-a/2013/001）階段性成果之一，課題主持人為李庾南、王笑君.

最近筆者在一次市際（南通市與宿遷市）學校共同體教學研討活動中執(zhí)教七年級“垂直”新授課，課例得到與會同行的好評.本文先呈現(xiàn)教學流程的簡案，再給出精彩生成片段，最后闡釋幾點教后反思，與更多老師研討.

一、教學簡案

（一）教學目標

1. 引導學生從學生的生活經(jīng)驗中抽象概括出垂直的定義及其符號表達，培養(yǎng)學生的符號意識.

2. 在動手操作中感悟垂線的唯一性質(zhì)，滲透分類思想和轉化思想.

3. 理解垂線定義的雙重作用.建構“點到直線的距離”概念，學習步步有據(jù)的說理方法.

（二）教學過程

活動1：引導學生動手實踐，畫相交二直線，對所成角進行分類研究，建構垂直的定義.

1. 引導學生動手操作，如圖2，畫相交二直線a，b，交點為點O.

2. 小組交流，所畫相交兩直線所成角的大小情況.

3.全班交流：分析交角的特殊值為90°，揭示課題——垂直.

4. 觀察圖2中的兩直線位置特征：

① 抽象概括垂直定義：如果兩直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足；

② 分析定義中的題設和結論，并用符號表示定義；

③ 研究定義的雙重作用.

活動2：根據(jù)定義，利用工具（三角尺、量角器）過一點畫已知直線的垂線，并揭示垂線的“唯一”性質(zhì).

1.全班同學聽句畫圖，過點P畫直線l的垂線CD，垂足為點O.

2. 在同學自己畫的基礎上，請畫得不完整的同學板演，供糾錯分析.

3. 全班分析，如何理解“過一點”，自行糾正畫圖不足，強調(diào)根據(jù)“點與直線的位置關系”，分類解題的思想方法.

4. 進一步實踐操作，得出垂線的“唯一”性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

活動3：建構垂線的第二條性質(zhì)“垂線段最短”.

1. 垂線段、斜線段的概念.

2. 垂線的第二條性質(zhì)：垂線段最短.

3. 點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.

活動4：練、議，深化概念.

例題：如圖3，已知CD平分∠EDF，CD⊥AB，垂足為D，∠1 = ∠2嗎？為什么？

變式：如圖3，點A，D，B在同一直線上，已知CD平分∠EDF，∠1 = ∠2，CD⊥AB嗎？為什么？

（三）課堂小結

1. 幾何圖形特殊的位置關系及其對應特殊的數(shù)量關系.

2. 定義的雙重作用.

二、精彩生成

（一）開課階段

師：兩條直線相交會形成四個角，按照形成的四個角的大小來分類，你們說應該有幾類？

生1：有可能銳角，有了銳角就有鈍角，鄰補角互補.

生2：也可能是直角.

師：有一個角是直角，四個角都是直角嗎？為什么？

生2：對頂角相等，鄰補角互補.

師：所以兩條直線相交，只要有一個是直角，肯定四個角都是直角.兩條直線相交成直角這種特殊的位置關系稱之為垂直.今天我們就一起來研究垂直這個課題.

（板書——垂直）

師：那么，什么叫作垂直呢？大家看看，這樣的圖形，就叫作兩條直線互相垂直，它們具備了什么條件？想想看，小組議論一下.

……

（二）垂直的符號表達

師：我們在學習平行線的時候，用什么符號來表示平行的？

生眾：比畫.

師：很像平行的樣子.數(shù)學當中好多圖形都是用象形的符號來表示.好，你們認為垂直用什么象形符號來表示比較好？哦，你上來寫寫看？寫在這個位置.

生3到黑板上寫出“⊥”.

師：很好，這就是垂直的符號.現(xiàn)在有了垂直的符號，如何對照圖形把定義表示出來呢？哦，你說說看.（生4說，師板演）

生4：∵ AB、CD相交于點O，且∠BOC = 90°，∴AB⊥CD，垂足為點O.

（三）畫圖體驗“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”

師：都會畫了吧？用這樣的方法在這兩個圖形上過點P再畫已知直線l的垂線. 你上來，用三角板再畫.

生5：（比畫半天）老師還是這條.

師：再畫！

生5：（繼續(xù)比畫，有點著急）還是這條！

師：底下同學是不是這樣，畫的還是這條？

生眾：是！

師：哦，不僅你們幾十名同學畫的是這樣的，人們在長期的實踐當中都發(fā)現(xiàn)了這個事實，說說看，什么事實？對照圖形把這個事實總結總結.

生6：在同一平面內(nèi)過一點，有且只有一條直線與已知直線垂直.

師：正確，這就是垂線的性質(zhì).這名同學再說一遍.

生7：在同一平面內(nèi)過一點，有且只有一條直線與已知直線垂直.

（四）垂線段最短

師：假設這是同學們上體育課跳遠的起跳板，如果同學你的腳后跟落在P點，體育老師給你量跳遠成績怎么量的？

生8：是量的腳印與起跳板的垂線段的長.

師：為什么？

生9：最短，其他的都長.

師：很好！這就是垂線的第二條性質(zhì).這條性質(zhì)就是直線外一點所有斜線段長度都大于垂線段，簡稱“垂線段最短”.事實上，人們還規(guī)定了點到直線的距離，就是直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.我們談點到直線的距離，就是垂線段的長度.

三、教后反思

1. 從“數(shù)學問題”出發(fā)，引導學生發(fā)現(xiàn)和概括概念

張奠宙教授評析李庾南老師教學流派的特點時，曾評述：“李老師首先注意用數(shù)學問題驅動，激發(fā)學生的主體探索性思維.”上面的垂直課例，無論在開課階段的情境引入，還是性質(zhì)探索與概括活動中，我們都是舍棄了教材上的生活情境，而是選定安排學生畫圖這樣的“數(shù)學問題”來引導學生發(fā)現(xiàn)和概括概念.從課堂效果來看，學生對這樣的畫圖參與熱情也很高，因為既有小學里的畫圖經(jīng)驗，又有開放的作圖要求，大家都能畫，畫出來都能交流，而且能自主發(fā)現(xiàn)和概括新知，追求了“返璞歸真”的教學生態(tài).

2. 從“基本事實”出發(fā)，引導學生積累和應用性質(zhì)

垂直的兩個性質(zhì)是由“基本事實”引出的，屬于公理級別.七年級教學時是簡單告知還是安排恰當?shù)膶嶒灮顒樱ㄟ^驗證引導學生感受其合理性是新課教學時需要面對的一個重要課題.從上面的教學決策來看，我們選擇了后者，即在不同環(huán)節(jié)，都安排學生畫圖，變換不同可能畫圖，然后讓學生小組議論、全班交流，發(fā)現(xiàn)“基本事實”，從而一起歸納垂線性質(zhì).特別是，我們并沒有過分糾纏在基本事實的驗證和探索上，而是在大多數(shù)學生能感受、認可的基礎上，引導學生歸納、應用該性質(zhì).

3. 從“符號表達”出發(fā)，引導學生表達和演繹推理

七年級幾何教學源于學生在小學階段積累的很多幾何直觀的經(jīng)驗，即學生在七年級學習幾何時并不是“一張白紙”.但是如何借用小學圖形學習的經(jīng)驗，又要引導他們盡快走進初中幾何的學習之路呢？這也是值得廣大一線教師認真思考的課題.從上面的課例來看，我們在七年級幾何起始教學階段，重視了幾何語言，即符號表達的規(guī)范和訓練.當垂直這樣新的概念出現(xiàn)后，師生一起寫出規(guī)范的符號表達，在垂直的性質(zhì)概括之后，引導學生從圖形、符號對應的角度反復表達，并選擇并不太難的兩個例題訓練.事實上，這兩個例題放在小學中，學生也能作出來，但是在本課中，教師重要的是要通過這兩個例題引導學生運用恰當而規(guī)范的符號表達，滲透演繹推理.值得一說的是，雖然現(xiàn)行教材在這個階段并不要求學生嚴格的演繹推理和形式化的符號表達，但是教學實踐告訴我們，學生并不可能后來一蹴而就地學會規(guī)范的演繹推理，恰恰需要七年級剛進入幾何學習時就規(guī)范訓練、不斷滲透、螺旋上升，最后才能真正幫助學生盡快學會這種形式化的推理表達.

致謝：本課從備課、試教、評課、反思成文全過程都得到師傅、全國著名特級教師李庾南老師的悉心指導，謹致謝意！

【參考文獻】

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