改進的GM（1，1）模型在小南海泉涌泉量預測中的應用

原玉昌　袁國寶　崔曉　暴占軍

摘要灰色系統模型在貧信息、小樣本的非線性系統建模中具有明顯優勢，適合對時間序列較短時的需水量進行預測。針對基本灰色預測模型背景值構造不合理，及未充分利用新信息的缺點，采用重構背景值和等維遞補原理對基本GM（1，1）模型進行改進，并利用改進模型對安陽市小南海泉的涌泉量進行擬合和預測，結果表明，改進模型預測精度更高。

關鍵詞涌泉量預測；灰色預測；重構背景值GM（1，1）；等維遞補GM（1，1）

中圖分類號S181.3文獻標識碼A文章編號0517-6611（2014）22-07574-03

小南海泉出露于洹河河谷之中，是河南省的名泉，年均涌水量1.3億m3，相當于一座大型水庫的庫容。小南海泉水經過下游的彰武水庫調節，擔負著安陽市區用水量近一半的供水任務，是安鋼、電廠、安化集團及萬金灌區的主要水源，也是市區生活用水的重要后備水源地，在安陽市國民經濟和社會發展中占有舉足輕重的地位，被稱為安陽市的“生命泉”。近年來，隨著安陽市社會經濟的快速發展，城市水資源供需矛盾日益突出，嚴重制約了城市經濟的發展。及時準確地預測小南海泉的涌泉量是城市供水系統優化調度的基礎，對保護、合理開發小南海泉域地下水資源、實現區域水資源的合理配置、緩解城市水資源供需矛盾、保障安陽市經濟、社會的可持續發展，有重要意義。

目前，常規的預測多采用回歸分析法和時間序列分析方法[1]，這些方法雖然簡單、直觀，但必須建立在大量數據樣本之上。而影響涌泉量的因素眾多，難以一一確定，導致建模困難，且進行涌泉量預測時受實測數據時間系列較短、可靠性低等條件的限制，預測結果往往難以令人滿意。灰色系統模型在貧信息、小樣本的非線性系統建模中具有明顯優勢，適合對信息不完全、時間序列較短時的數據進行預測。該研究即把受各種因素影響的涌泉量視為在一定范圍內變化的與時間有關的灰色量，從其自身的數據列中挖掘有用信息，從而預測小南海泉的涌泉量。基本灰色預測模型進行預測時之所以在某些時候出現預測精度較差的現象，主要原因有兩點：①常采用傳統公式來構造參數a、b的背景值，對數據變化急劇的序列預測精度較低；②且只考慮過去的全體數據，未充分利用新信息，精度較高的僅僅是最近的幾個數據，導致越往未來發展，預測意義就越弱。因此，筆者采用重構背景值和等維遞補原理對灰色預測模型進行改進，并用改進的模型對小南海泉的涌泉量進行擬合和預測。

1 GM（1，1）模型及其改進

1.1GM（1，1）模型灰色系統理論是鄧聚龍教授于1982年創立的[1]，是一種研究少數據、貧信息的不確定性問題的新方法。其實質是基于灰色系統分析原理對含有不完全信息的研究對象的發展規律進行預估，其核心為GM（1，1）模型，基本的GM（1，1）模型的建模步驟如下[2]。

①對無規律的、隨機的、有明顯擺動的原始數據X（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}進行一次累加，生成累加序列X（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}，其中：x（1）（k）=∑k1i=1x（0）（i）（k=1，2，…，n）。新生成的數據列為單調遞增數列，增加了原始數據列的規律性。

②由X（1）構造背景值序列Z（1）=（z（1）（1），z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）），其中z（1）（k）=αx（1）（k）+（1-α）x（1）（k-1）（k=2，3，…，n），一般取α=112，做緊鄰均值生成z（1）（k）=x（1）（k）+x（1）（k-1）12（k=2，3，…，n）。

③對累加生成序列建立微分方程：

dx（1）1dt+ax（1）=b （1）

④該方程的離散解為：

x（1）（k+1）=[x（0）（1）-b1a]e-ak+b1ak=0，1，2，…，n （2）

式（1）的發展系數a和灰色作用量b由下述方法確定：

α=（a，b）T=（BTB）-1BTY （3）

其中，B=-z（1）（2）11

-z（1）（3）11

…1…

-z（1）（n）11，Y=x（0）（2）

x（0）（3）

…

x（0）（n）。

⑤GM（1，1）數列預報模型為：

x（0）（k+1）=x（1）（k+1）-x（1）（k）=（1-ea）[x（0）（1）-b1a]e-akk=1，2，…，n （4）

模型規定x（0）（1）=x（0）（1）。

GM（1，1）模型中系數a稱為發展系數，它反映系統的發展態勢，當a為負值時，其絕對值越小，系統發展就越慢；反之，則越快。參數b稱為灰作用量，它反映數據變化的關系。

1.2 重構背景值的GM（1，1）模型由公式（2）可知，GM（1，1）模型預測和擬合精度取決于發展系數a、灰色作用量b，而a、b的求解依賴于背景值的構造形式。因此，背景值z（1）（k+1）的構造公式成為直接影響GM（1，1）模型精度和適應性的關鍵因素[3]。

由建模機理可知GM（1，1）模型擬合曲線是指數曲線，設圖1中曲線x（1）（t）為擬合指數曲線，傳統方法取背景值z（1）（k）=x（1）（k）+x（1）（k+1）12，即圖中的梯形abcd面積，但在區間[k，k+1]上指數曲線x（1）（t）對應的面積總是小于梯形abcd的面積，會出現誤差Δs。序列數據變化越大，指數曲線曲率越大，模型誤差Δs越大。GM（1，1）模型無論是數據變化平緩的低增長指數序列，還是數據變化急劇的高增長指數序列，都采用傳統公式來構造參數a、b的背景值是不盡合理的，對數據變化急劇的序列預測精度往往較差。