返璞歸真——例談運用基本概念解題

劉侃

摘 要：概念是思維的細胞，數學概念是數學思維的細胞。數學概念的建立是數學思維的起點，不建立數學概念，也就談不上數學知識的形成與發展、數學命題的發現與證明、數學思想方法的形成與掌握，更談不上數學思維能力的形成與發展等深厚數學素養的養成，數學科學這座大廈也就無從建立。

關鍵詞：概念；證明；數學

其實，任何一門學科都是在一定范圍內，明確了研究對象，在相應的哲學思想及研究方法的指導下，遵循“現實材料（原型）——概念的形成——基本命題的建立——實際應用”這樣的邏輯順序建立起來的。數學這門學科的建立也不例外。概括起來說，學科建立的順序是“實踐（現實材料）——理論——實踐（實際應用）”。在數學教學中，在解題思路的方向選擇上，“建立概念，從基本概念出發”是一條基本而重要的思路。今年泰州市中考數學壓軸題（第28題）就充分體現了這一點，現予以詳述如下。

題28：已知一次函數y=kx+b的圖像分別交y軸、x軸的正半軸于點A、點B，☉O的圓心在坐標原點，半徑為，見圖1。（1）若OA=OB，求：①k的值；②設b=4，點P是直線y=kx+b上的動點，從點P作☉O的切線PC、PD，C、D是切點，若PC⊥PD，求動點P的坐標，見圖2。（2）若k=-，直線y=kx+b與☉O相交，將其分成兩段弧，這兩段弧的長度之比為1∶2，求b的值。

分析：（1）①如圖1。方法一：待定系數法。由OA=OB得A（0，b），B（b，0），代入y=kx+b得： kb+b =0，∵b≠0，∴k=-1。方法二：公式法。由OA=OB得縱截距b=橫截距a，依公式k=-得k=-=-1。方法三：平移法（解法略）。

②如圖3。聯結OC、OD、OP，∵PC、PD是☉O的切線，∴OC⊥PC， OD⊥PD，又PC⊥PD ，∴四邊形OCPD為矩形，由OC=OD（同圓的半徑相等）知：四邊形OCPD為正方形，∴OP2 =2OD2 =2×（）2 =10。∵動點P在直線y=-x+4上，∴可設動點P的坐標為P（x，4-x）；從P作PH⊥ox軸于點H，則OH2 +PH2 =OP2 ，即x2 +（4-x）2=OP2，∴x2+（4-x）2 =10，解得x1 =1，x2=3，∴P1（1，3），P2（3，1）。

（2）如圖4。方法一：公式法與面積關系法。設直線l∶y=kx+b與☉O（）交于點M、N，分☉O所成的兩段弧，劣弧MN與優弧MN之比為1∶2，聯結OM、ON，則∠MON=360°×=120°；從O作OQ⊥直線MN于點E，交☉O于點Q，則ME=NE， ∠MOE=∠NOE=60°，∠OME=30°，∴OE=OM=OQ=。又設直線l∶y=-x+b分別交y軸、x軸于點R、S，則由公式k=-，k=-，有-=-，∴ a =2b，即OR=b， OS=2b， ∴RS=b。在Rt△ORS中，有面積關系OR×OS=OE×RS，∴b×2b=×b，即b×（b-）=0，∵b≠0 ，∴b= ，∴ b=±。方法二：公式法與相似形法。由上面知：△ORS、△ERO、△EOS均為相似的直角三角形，且短直角邊∶長直角邊∶斜邊= b∶2b∶b=1∶2∶，∴RE∶OE∶OR=1∶2∶， 又OE=，OR=b，∴∶b=2∶ ，∴b =，∴ b=±。方法三：公式法。易求得OE=，又OE⊥MN，∴OE的長即為原點O到直線l∶y=-x+b的距離，把直線l化為一般式得：x+2y-2b=0，由點（x0，y0）到直線A×X+B×Y+C=0的距離公式d=，得=，∴b=±。

評述：第（2）小題的關鍵之處，也即本題的亮點之處，就在于緊扣住斜率k的意義進行轉化，而轉化的方向不止一個，因而就產生了不同的解題思路；如果過不了“正確理解k的意義”這道坎，本題最終就解不下去了，這也是本道題的核心之所在：用斜率k聯系縱橫截距b、a，即用縱截距（OR） b的代數式表示橫截距（OS） ，充分體現了“回到基本數學概念上去”的基本理念。其他關鍵之處還有：一是將弧的長度之比轉化成圓心角的度數，再利用垂徑定理求得圓心O到MN的距離；二是利用相似關系或面積關系來列出方程，從而求出b的值。從知識考查的角度看，本題考查了圓、垂徑定理、直角三角形、勾股定理、相似形、方程、函數、斜率k的意義等基礎知識，考查了數形結合思想、方程思想、函數思想、解題策略的開放性，特別是考查了“回到基本概念上去或從基本概念出發”這一原始的基本理念。本題是一道集函數、幾何、方程、解題策略于一體的具有一定開放性的綜合性的壓軸題，具備較高的數學思維能力與知識考查的價值。

在中考復習中，對這樣的綜合性大題應進行專題講解與訓練，分析歸納解題的思路途徑（分析法與綜合法）與方法（直接法與間接法），提煉其數學思想（數形結合、分類討論、化歸與轉化、模型思想），從而提高學生的數學思維水平與能力。

（江蘇省興化市安豐初級中學）