正整數的等比分拆

仇鵬翔

【摘要】根據組合數學中關于正整數分拆的廣泛應用，本文將對分拆進行補充，初步探究正整數的等比分拆數.規定，把正整數 表示成一列成等比數列（至少三項）的正整數之和的形式，就叫做 的等比分拆.本文就對 的等比分拆的計數問題進行初步的研究，探討正整數 成一列等比數列的正整數之和的形式共有多少種即求正整數 的分拆數，并總結其計數規律.

【關鍵詞】正整數；正整數的等比分拆；分拆數；計數規律

1.引言

正整數分拆問題一直以來都是組合數學、圖論、數論研究的一個重要的課題，尤其在尋找各種分拆數的計數公式，有關分拆數的恒等式，分拆數的性質的組合證明等各方面始終都是分拆理論研究的重點，同時也取得了豐富的成果.

2.正整數等比分拆的定義及其相關計數公式

2.1 正整數的等比分拆的定義

定義 把正整數 表示成一列成等比數列（至少三項）的正整數之和的形式，就叫做 的等比分拆.

引理2.1[10]設正整數 的標準分解式為 （ 是互不相同的素數， ， ），則 ， .

2.2 的計數公式

定理2.2.1 若正整數 為大于3的偶數，則 ；若 為不小于3的奇數，則 .

證明：因為正整數 ， ， ，所以當 為大于3

的偶數時， 必有正約數1和2，因為 ，故 只能取除1和2之外所有 的正約數值，故 ；當 為不小于3的奇數時， 必有正約數1，因為 ，故 只能取除1之外所有 的正約數值，故 .從而原命題得以證.

2.3 的計數公式

定理2.3.1 若 ，數列 是以 為首項， 為公比的等比數列，且 ， ，則 .

證明：若 = ，

則當 值越小時， 值越大.又 ，且 ，所以 ，

從而 ，從而 ，又因為數列 是等比數列， ，所以 .

推論2.3.1 正整數 存在公比為2的正整數等比分拆的充要條件是 ，其中 ，（ ）.

性質2.3.1 若正整數 ，其中 ，

（ ），則 存在公比為2，首項為 的正整數等比分拆.

推論 2.3.2 若 ，

（ ， ， ），則 .

性質2.3.2 若 是 的正整數等比分拆的公比，則 ， ..

推論2.3.3 正整數 的等比分拆： ，其中數列 是以 為首項， 為公比的等比數列， ， ，則

.

推論2.3.4 若正整數 ， （ ， ），則 存在公比除1外的等比分拆.

2.4 正整數 的等比分拆的分解式求法

引理[11]正整數 ， ， ，記 ， ，…， ，…， ， ， ， ，若 存在，則正整數 存在公比除1外的等比分拆，即 .

推論3.4.1 .

證明：顯然成立.

性質2.4.1 對 ，（其中 為正整數（ ），數列 為等

比數列， ，且 ， ），必存在 ，且 有且只有一個的.

參考文獻：

[1]曹汝成.組合數學[M].廣州：華南理工大學出版社，2011.

[2]李宏奕.有關正整數連續奇偶分拆問題的推廣及應用[J].廣州廣播電視大學學報，2012，（51）.

[3]甘志國.公差為2的正整數等差分拆[J].上海中學數學學報，2008，（4）.

[4]郭育英.與正整數的無序分拆和有序分拆相關的一些恒等式[J].數學學報（中文版），2007（50）.

[5]龐榮波.有序分拆與無序分拆的分拆恒等式與計數公式[J].四川師范大學學報（自然科學版），2009，（4）.

[6]許小芳.與正整數的有序分拆相關的一些恒等式[J].黃石理工學院學報，2012，（1）.

[7]陳星，王迪吉.整數分拆的一種算法[J].新建師范大學學報（自然科學版），2006，（3）.

[8]龐榮波.正整數分拆中的特殊恒等式[J].山西師范大學學報（自然科學版），2009，（4）.

[9]郭秀英，孫秋杰.整數分拆和序列計數問題[J].貴州教育學院學報（自然科學），2006，（2）.

[10]甘志國.任意自然數的全部平方差分拆及其組數[J].數學通訊，1996，（11）.

[11]李建章.自然數的等比分拆[J].數學通訊，1997，（1）.