趣題巧解點(diǎn)石成金

秦琦

摘 要：克萊因曾說(shuō)：“在最廣泛的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)是一種精神，正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活，試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問(wèn)題。”我們?cè)诮逃虒W(xué)中不能淡化傳授數(shù)學(xué)精神的意識(shí)，要始終堅(jiān)持不僅教給學(xué)生知識(shí)，而且注重在知識(shí)的潛移默化中讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神，感悟數(shù)學(xué)文化。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)； 趣題巧解

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315（2014）12-051-001

數(shù)學(xué)的抽象性、嚴(yán)密性和應(yīng)用的廣泛性常常會(huì)使學(xué)生不理解，甚至望而卻步。有些抽象、枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，就像是一顆顆頑石攔在他們面前，學(xué)生只能避讓或繞道而行。

蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)”是非常有趣的知識(shí)，通過(guò)書本的學(xué)習(xí)，學(xué)生觀察概括、探索并理解了公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的含義，掌握了求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法。學(xué)生除了課堂上書本中的知識(shí)，更希望汲取更多的知識(shí)養(yǎng)分。在此基礎(chǔ)上，筆者大膽設(shè)想上一節(jié)思維訓(xùn)練課《有趣的公倍數(shù)》，決定打破以往固有的“非此即彼”的思維方式，堅(jiān)定“一課一得”的目標(biāo)。不僅僅著重于知識(shí)點(diǎn)的講授，而在于對(duì)“同余問(wèn)題”的深刻理解和數(shù)學(xué)思維的強(qiáng)化訓(xùn)練，以及對(duì)數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)。

一、趣題——迸發(fā)思維火花

在思維訓(xùn)練課中習(xí)題是重要組成部分，老師選擇什么樣的題目，是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用，是促進(jìn)學(xué)生拓寬知識(shí)面，發(fā)展思維的重要手段。在這節(jié)數(shù)學(xué)課中，筆者結(jié)合歷史故事“韓信點(diǎn)兵”作為問(wèn)題主線設(shè)計(jì)了一系列遞進(jìn)式數(shù)學(xué)問(wèn)題。第一層次——基本“同余”問(wèn)題。“營(yíng)地士兵六百有余，先分七路縱隊(duì)站好，結(jié)果多3人，改成九路縱隊(duì)，結(jié)果還是多3人。營(yíng)地的士兵至少有多少人？”通過(guò)幾次追問(wèn)讓學(xué)生理解題意，“如果把這些士兵分成七路縱隊(duì)沒(méi)有剩余，那么說(shuō)明士兵人數(shù)是7的——？”“如果分成九路縱隊(duì)也沒(méi)有剩余，那么又說(shuō)明什么呢？”“如果分成七路縱隊(duì)沒(méi)有剩余，分成九路縱隊(duì)也沒(méi)有剩余，那么士兵人數(shù)就是——（7和9的公倍數(shù)）。”第二層次——復(fù)雜“同余”問(wèn)題。“一隊(duì)士兵隔墻站隊(duì)，每三人站成一排，最后一排少一人。每五人站成一排，最后一排少三人。這隊(duì)士兵至少有多少人？”這次的同余并不是那么容易發(fā)現(xiàn)的。第三層次——“同少”問(wèn)題。“士兵數(shù)量不超過(guò)80人，每6人站一排，最后剩4人；每9人站一排，最后一排少了2人。士兵最多有多少人？”這也是同余問(wèn)題的一種題型，只是平均分后不是剩余而是缺少。

二、趣聞——豐富知識(shí)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)閱讀是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑之一，一堂課的教學(xué)時(shí)間是有限的，而數(shù)學(xué)閱讀不只包括對(duì)數(shù)學(xué)教材的閱讀，還包括對(duì)與數(shù)學(xué)有關(guān)的科普知識(shí)及課外材料的閱讀，因此教師在課堂上必須注重閱讀延伸，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這節(jié)課可以結(jié)合公倍數(shù)的知識(shí)引出《孫子算經(jīng)》中的經(jīng)典數(shù)學(xué)題——“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何？”并透過(guò)這類問(wèn)題向同學(xué)們介紹宋朝數(shù)學(xué)家秦九韶。從《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”題到秦九韶的“大衍求一術(shù)”，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)一次同余式的研究，在世界數(shù)學(xué)史上取得了輝煌的成就。相同的理論，西方晚了五百多年。

在這些介紹和了解中，學(xué)生自然感悟到每一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，定理的歸納都是一部數(shù)學(xué)發(fā)展史，它們都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史時(shí)期，其間的每一項(xiàng)成就都是以無(wú)數(shù)次的挫折和失敗為代價(jià)，無(wú)不包含著數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)刻苦鉆研、勇于探索，并為之奮斗終身的精神；無(wú)不包含著數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所起的巨大推動(dòng)作用。

三、趣解——提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在這節(jié)課中就“解題”本身，筆者在設(shè)計(jì)中強(qiáng)調(diào)了以下幾點(diǎn)：第一，加深對(duì)同余問(wèn)題的理解。從抽象、邏輯上理解這種類型的習(xí)題，而不能流于直觀化、表面化（而這正是大多數(shù)學(xué)生的問(wèn)題所在）。本節(jié)課為了讓學(xué)生了解《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”題的經(jīng)典解題方法，教師特意設(shè)計(jì)了遞進(jìn)式的習(xí)題，通過(guò)多思考、多分析，并向?qū)W生展示思考過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度去觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題。第二，學(xué)會(huì)對(duì)概念與公理的運(yùn)用，形成本能。如果學(xué)生能潛意識(shí)運(yùn)用知識(shí)和解題方法，這將會(huì)培養(yǎng)學(xué)生深刻理解問(wèn)題本質(zhì)，從基本假設(shè)出發(fā)建立理論體系的能力，這些對(duì)學(xué)生日后的學(xué)習(xí)發(fā)展將有不可估量的影響。第三，分散難點(diǎn)，讓學(xué)生樂(lè)于思維。比如較難的同余問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生找到關(guān)鍵句，并把它轉(zhuǎn)化成容易理解的基礎(chǔ)同余問(wèn)題。“一隊(duì)士兵隔墻站隊(duì)，每三人站成一排，最后一排少一人。每五人站成一排，最后一排少三人。這隊(duì)士兵至少有多少人？”其中兩個(gè)條件可以轉(zhuǎn)化成同一句話“最后一排多2人”。這樣把較難的問(wèn)題根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)分解，減緩坡度，也就創(chuàng)造了條件讓學(xué)生樂(lè)于思維。在課上筆者還向?qū)W生介紹《孫子算經(jīng)》這本古代數(shù)學(xué)專著，里面記載著我們熟悉的“雞兔同籠”題，還有“物不知數(shù)”題。不僅引導(dǎo)學(xué)生解答有關(guān)公倍數(shù)的難題，還出示了明代數(shù)學(xué)家程大位寫的詩(shī)歌——“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知。”這是這類問(wèn)題的另一種解法，學(xué)生們非常感興趣。部分學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上還會(huì)運(yùn)用此類方法解答其他“物不知數(shù)”題——“今有物，二百至四百間，三三數(shù)之，剩二，七七數(shù)之，剩三，八八數(shù)之，剩五，問(wèn)物幾何？”

雖然思維訓(xùn)練課的內(nèi)容是課本知識(shí)的深入拓展，題目難度增加，學(xué)生解題能力有差異，有不少學(xué)生心有余而力不足，但是他們并未因此而輕易放棄，部分學(xué)生鉆研難題的積極性和學(xué)習(xí)氛圍感染了班級(jí)里更多的學(xué)生，他們都愿意投入到探索研究中來(lái)。學(xué)生不僅通過(guò)解決難題的過(guò)程獲得所需的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，更培養(yǎng)了他們勇于探索、勇于創(chuàng)新的數(shù)學(xué)精神。這種精神，作為數(shù)學(xué)知識(shí)深處的本質(zhì)力量，已經(jīng)被激發(fā)出來(lái)，變?yōu)椤包c(diǎn)石成金”的神奇“催化劑”。