三角變換中的“目標意識”和“整體思維”

胡 琳

(河北省石家莊市第一中學 050000)

三角變換的實質(zhì)為“依據(jù)目標意識，挖掘題設條件，尋求差異，整體思維選用三角公式變名，變角，變結(jié)構(gòu)”完成求值，化簡，證明等問題.其中“目標意識，整體思維，湊角入手，消除差異，合理選用公式”起著決定性的作用.

一、目標意識，整體思維，湊角入手，消除差異建立函數(shù)關(guān)系

簡析尋求角的差異如何溝通？目標意識求cos2α,sin2α，變名入手溝通角之間的關(guān)系，

二、目標意識，改變結(jié)構(gòu)，出現(xiàn)“特殊值，消項，約項”求解

簡析整體思維，注意結(jié)構(gòu)特征為分式，改變結(jié)構(gòu)其目標為約項求值.可用平方差公式，輔助角二倍角公式逆用約項.

三、目標意識，整體思維，平方消參，消除差異求解

例3 已知 1+cosα-sinβ+sinαsinβ,1-cosα-cosβ+sinαcosβ=0,求sinα.

四、目標意識，整體思維，方程(組)觀念，消除差異求解

例4 已知F(θ)=cos2θ+ccos2(θ+α)+cos2(θ+β),問是否存在滿足0≤α≤β≤π的α，β使得F(θ)的值不隨θ的變化而變化?如果存在，求出θ的值；若不存在，請說明理由.

簡析條件的探索及常函數(shù)的認識，分離參數(shù)構(gòu)建方程組求解.要使得F(θ)的值不隨θ的變化而變化，需使得θ的系數(shù)為0，故需把θ與α，β分離，轉(zhuǎn)化為cosθ或sinθ的多項式，需要目標意識，整體思維降次應用公式.

由常函數(shù)的意義，構(gòu)建方程組有 1+cos2α+cos2β=0,sin2α+sin2β=0.三角變換目標意識“平方消參降元”求得.即使F(θ)的值不隨θ的變化而變化的α=π/3，β=2π/3存在.

五、目標意識，整體思維，換元溝通變量之間的關(guān)系求解

例5 求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

注：試回味最值求解中函數(shù)關(guān)系是如何建立的？體驗三角綜合問題中的“目標意識、整體思維”的指導作用.

六、目標意識，整體思維,變形用公式求解

例6 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.

于是，整體變形有，

原式=

[(1+tan1°)(1+tan44°)][(1+tan2°)(1+tan43°)]…

[(1+tan22°)(1+tan23°)](1+tan45°)=2·2·…·2=223.

七、目標意識， 整體思維，構(gòu)造對偶式求解

簡析通法為降次化積“消項”求值.若注重平方關(guān)系和倍角公式，構(gòu)造對偶式解方程組求解“具有操作性”.

八、目標意識，整體思維，構(gòu)造“輔助因子法”求解

簡析角成等比數(shù)列的余弦之積，整體把握二倍角公式，乘以最小角的正弦，二倍角公式連鎖反應，“約項”求值.

[1]白鵬恩.三角變換的基本方法[J].山西教育·高考理科,2005(10).