中考動點問題類型及解題策略

袁萬萍

近年來，中考數學中的動點問題成為考查學生的熱點題型，這類題型不僅涉及知識點多，而且能將幾何知識和代數知識緊密結合，既考查了學生的基本運算能力，又考查了學生的思維能力和空間想象能力，較綜合地體現了中考數學對學生的素質要求. 但是由于這類題型往往信息較多，綜合難度較大，學生得分情況很不理想，如何在平時教學中逐步滲透，培養學生認識、分析此類題型的能力，理解動與靜的辯證關系，達到提高思維品質的目的，成為我們一線教師值得思考的問題.

一、了解動點問題

所謂“動點問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目. 解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題. 二、動點問題的類別與解題策略

動點問題按動點的個數分類可以分為：一個動點問題、兩個動點問題、多個動點問題. 按運動軌跡分類可以分為：直線上的動點問題、曲線（比如拋物線、圓）上的動點問題、平面上的動點問題.

動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性，如等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數、線段或面積的最值. 下面就此問題的常見題型作簡單介紹，關鍵給以點撥.

（一）三角形邊上動點

例1 （2012貴州遵義）如圖1，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A，C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D.

（1）當∠BQD = 30°時，求AP的長；

（2）運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化，請說明理由.

考點 動點問題，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，含30°度角的直角三角形的性質.

分析 （1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB = 60°，再由∠BQD = 30°，可知∠QPC = 90°，設AP = x，則PC = 6 - x，QB = x，在Rt△QCP中，∠BQD = 30°，PC = QC，即6 - x = （6 + x），解得x = 2.

（2）作QF⊥AB，交線段AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P，Q做勻速運動且速度相同，可知AP = BQ，再根據全等三角形的判定定理得出△APE ≌ △BQF，再由AE = BF，PE = QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB + AE = BE + BF = AB，DE = AB，由等邊三角形ABC的邊長為6可得出DE = 3，故當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變.

（二）四邊形邊上動點

例2 （2011貴州遵義）如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，BC = 20 cm，AD = 10 cm，現有兩個動點P，Q分別從B，D兩點同時出發，點P以每秒2 cm的速度沿BC向終點C移動，點Q以每秒1 cm的速度沿DA向終點A移動，線段PQ與BD相交于點E，過E作EF∥BC交CD于點F，射線QF交BC的延長線于點H，設動點P，Q移動的時間為t（單位：s，0 < t < 10）.

（1）當t為何值時，四邊形PCDQ為平行四邊形？

（2）在P，Q移動的過程中，線段PH的長是否發生改變？如果不變，求出線段PH的長；如果改變，請說明理由.

考點 動點問題，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，梯形.

分析 （1）如果四邊形PCDQ為平行四邊形，則DQ = CP，根據P，Q兩點的運動速度，結合運動時間t，求出DQ，CP的長度表達式，解方程即可.

（2）PH的長度不變，根據P，Q兩點的速度比，即可推出QD ∶ BP = 1 ∶ 2，根據平行線的性質推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH = 20.

（三）拋物線上動點

例3 （2010貴州遵義）如圖3，已知拋物線y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的頂點坐標為Q（2，-1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與點A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D.

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標；

（3）在問題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問：是否存在以A，P，E，F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由.

考點 動點問題，拋物線，直角三角形，四邊形.

分析 （1）將Q（2，-1），C（0，3）分別代入y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）中即可確定a的值，然后配方后即可確定該拋物線的函數關系式.

（2）分兩種情況：當點P1為直角頂點時，點P1與點B重合；當點A為△APD2的直角頂點時，分別計算得P1（1，0），P2（2，-1）.

（3）當點P的坐標為P1（1，0）時，不能構成平行四邊形；當點P的坐標為P2（2，-1）（即頂點Q）時，平移直線AP（如圖）交x軸于點E，交拋物線于點F. 當AP = FE時，四邊形PAFE是平行四邊形.