巧用正弦定理證題

鄭準

【摘要】 在解決一般的幾何證明題時，我們常需要添加輔助線通過證明全等或相似才能得出結論，但對有些已知角的關系的幾何問題，若能正確地運用正弦定理則很容易就可以解決了.

【關鍵詞】 正弦定理；特殊角

1. 在一些已知角度的幾何證明題中，我們可以根據題目已知的特殊角或角與角之間的關系，利用正弦定理直接解答. 例1 如圖1，在△ABC中，∠ABC = 60°，∠ACB = 45°，D在AC上，且∠ADB = 60°，求證：AD = 2CD.

證明 在△BCD中，∠ADB = 60°，∠DCB = 45°，∴ ∠CBD = 15°.

由正弦定理，得 = ，∴ CD = BD.

∵ ∠ADB = 60°，∴ ∠ABD = 45°.

∵ ∠ABC = 60°，∠ACB = 45°，∴ ∠A = 75°.

在△ABD中，由正弦定理得：

∴ AD = （ - 1）BD，

∴ AD = 2CD.

2. 在一般的幾何證明題中，若能正確地運用正弦定理解題，往往可以簡化解題過程，而不需證明全等或相似就可得出結論，這類題目很多，下面我們就通過例題來看看如何運用正弦定理解幾何證明題.

例2 如圖2，△ABC中，E，F分別為AB，AC上的點，且∠FBC = ∠ECB = ■∠A，求證：BE = CF.

證明 ∵ ∠FBC = ∠ECB = ∠A，

在△ABF中，∠BFC = ∠A + ∠FBA = ∠A + ∠ABC - ∠FBC = ∠ABC + ■∠A，

同理可得：∠BEC = ∠ACB + ∠A，

∴ ∠BEC + ∠BFC = 180°.

在△BFC中，由正弦定理，得

同理可得：

∴ BE = CF.

3. 在一些幾何證明題中，我們常常需要構造特殊三角形，利用特殊三角形的性質才能解答問題，若用正弦定理來解，則不需構造特殊三角形了.

例3 如圖3，AB，CD為⊙O的兩條直徑，P為⊙O上任一點，過P作AB，CD的垂線，垂足分別為M，N，過A作CD的垂線，垂足為H，連接MN，求證：MN = AH.

證明 設⊙O的半徑為R.

∵ AH⊥CD，∴ AH = R·sin∠AOC.

∵ PM⊥AB，PN⊥CD，

∴ P，M，O，N四點共圓，且圓的半徑為R.

在△OMN中，由正弦定理，得 = R，

∴ MN = R·sin∠MON.

又 ∵ ∠MON + ∠AOC = 180°，

∴ MN = AH.

4. 在幾何證明題中正確地運用正弦定理，可以不需添加輔助線或少添輔助線，從而大大降低題目的難度，蝴蝶定理的證明就是其中一個典型的例子.

例4 過⊙O的弦AB的中點P任作⊙O的兩弦CD，EF，連接CF，DE分別交AB于M，N，求證：PM = PN.

證明 設∠EPN = ∠FPM = α，∠DPN = ∠CPM = β，PN = x，PM = y，AP = a，則在△PEN中，由正弦定理，得

同理可得：

又∠E = ∠C，∠D = ∠F，

∴ EN·DN·PM2 = CM·FM·PN2.

又 EN·DN = BN·AN = （a - x）（a + x） = a2 - x2，

CM·FM = AM·BM = （a - y）（a + y） = a2 - y2，

∴ （a2 - x2）·y2 = （a2 - y2）·x2.

∴ x2 = y2.

∴ x = y（x，y > 0），即PM = PN.