高一教學中如何滲透分類討論的數學思想

押雪霞

一、問題提出

在高中數學教學中，分類討論的數學思想可以說無處不在，如：函數y = ax2 + 2x + 3的圖像一定是拋物線嗎？函數y=loga（2x-1）一定是增函數嗎？不等式a■ < a2x-3與不等式x2 < 2x - 3同解嗎？……比比皆是. 它們都需要對參數進行分類討論. 以誰為標準分類才能做到不重不漏是許多高中生的困惑. 有的學生到高三復習了遇見參數還是無所適從，不是盲目地按a > 0，a < 0，a = 0分類，就是機械地按a > 1，a < 1，a = 1分類. 本文擬從高一教學中探討如何逐步滲透分類討論的數學思想，以使學生在高中起始階段就能正確掌握分類討論的方法，從而在后續學習中能靈活應用，并游刃有余.

二、目標實施

1. 小處著眼，逐步遞進

高一學習第二章“基本初等函數”時，首先要復習初中已學過的二次函數. 在此教師可有意識地設計：函數y = ax2 + 2x + 3的圖像是什么？學生很容易回答是拋物線. 教師可反問它的圖像一定是拋物線嗎？學生就會恍然大悟，應分a = 0，a ≠ 0兩種情況考慮：當a = 0時，它為一次函數，它的圖像是直線；當a ≠ 0時，它是二次函數，它的圖像才是拋物線. 在此為學生埋下了分類討論的數學思想的種子，使學生有了初步的感官認識. 緊接著教師給出例1：求函數y = x2 - 2ax + 3，當x∈[1，3]時的最小值. 學生易犯的錯誤是求出對稱軸x = a，它對應的函數值就為最小值. 教師可提示已知條件中所給的區間x∈[1，3]有什么作用，從而使學生意識到應按對稱軸x = a與區間的位置分a < 1，1 ≤ a ≤ 3，a > 3三種情況求解. 至此，學生對分類討論的數學思想有了更進一步的感性認識，教師應趁熱打鐵給出例2：求函數y = x2 - 2x + 3，當x∈[a，a + 1]時的最小值，“吃一塹，長一智”，學生自然就會按對稱軸x = 1與區間的位置分1 < a，a ≤ 1 ≤ a + 1，1 > a + 1三種情況求解. 教師的作用就是引導學生總結兩例題的區別和聯系：一個是軸動區間定，一個是軸定區間動. 它們都需要按對稱軸和區間的位置進行分類討論. 這類題的一般規律是將對稱軸放在區間的左面、區間的中間、區間的右面，分三種情況進行討論求解，從而使學生對分類討論的數學思想上升為理性認識.

2. 溫故知新，螺旋上升

在二次函數的復習中，學生對分類討論的數學思想有了初步的認識，在此基礎上，我趁勢給出了三個二次的關系，即一元二次函數、一元二次方程及一元二次不等式的關系，并引導學生來探討含參數的一元二次不等式的方法.

例1：解一元二次不等式x2 - （a - 1）x - a > 0. 因為一元二次方程x2 - （a - 1）x - a = 0有兩個根x = a和x = -1，由一元二次函數的圖像知此一元二次不等式的解應在兩根之外. 但兩根的大小不能斷定，目的就是讓學生想到從兩根的大小分三種情況進行討論求解.

例2 ：解一元二次不等式x2 - ax + 1 > 0. 因為一元二次方程x2 - ax + 1 = 0的判別式為a2 - 4，其正負不能斷定，即此方程是否有根不知道，目的就是讓學生想到由判別式的大小分三種情況進行討論求解.

例3 ：解不等式ax2- （2a + 1）x + a + 1 > 0. 本題目的是讓學生想到由x2的系數a來分三種情況進行討論求解. 因為a = 0時，此不等式為一次不等式；當a > 0時，此一元二次不等式的解集為兩根之外；而當a < 0時，此一元二次不等式的解集變為兩根之間. 需要注意的是，由于是高一學生，分類討論的難度教師一定要把握好. 個人認為讓學生掌握一層分類即可，而那種先按是否有根分類討論，再按兩根大小分類討論的多層討論不必涉及.

3. 不斷強化，形成習慣

有了前面的學習，學生已經對分類討論的數學思想有了深刻的認識. 在指數函數的學習中教師應當乘勝追擊，以使學生能在不斷的強化過程中形成良好的習慣. 首先教師給出例1：解不等式a < a2x-3（ a > 0 且a ≠ 1），有了前面的鋪墊，多數學生已經能從容地分a > 1，a < 1兩種情況求解. 緊接著教師給出例2：求函數y = a2x-3（ a > 0 且a ≠ 1）的單調區間. “一回生兩回熟，三次見面就是老朋友.”在對數函數的學習中，教師不妨給出同樣的兩道例題，例1：解不等式loga（2x-1） < loga（x - 3） （a > 0 且a ≠ 1）與例2：求函數log a（2x-1）（a > 0 且a ≠ 1）的單調區間，目的就是使學生在不斷的強化中，自然而然地將分類討論的數學思想在腦海中根深蒂固. 實踐證明，高一有了學習必修1的良好開端，高一的必修2的教學就顯得格外輕松. 例如在必修2解析幾何的學習中，當教師讓求直線2x - ay + 3 = 0的斜率時，學生都會自覺地考慮a = 0時斜率不存在，a ≠ 0時斜率為時. 不僅如此，他們還能按a > 0，a < 0來進一步判斷斜率的正負以及傾斜角什么時候是銳角、什么時候是鈍角.

三、一點感想

優秀是一種習慣. 從高一開始，學生從起初的遇見參數就犯錯誤到不斷吸取教訓，探索規律，直到后來遇見參數就分類討論，可以說已經成為他們自覺的習慣. 從一開始的不知道如何分類到后來分類標準的不重不漏，可以說他們對分類討論的方法已經掌握得爐火純青. 我相信這不僅為他們學好高中階段的數學樹立了信心，這種嚴謹的一絲不茍的學風也一定會遷移到他們今后的學習和工作中，一定能使他們受益終生.