克里格插值

郭汝夢(mèng)

引言：克里格方法又稱空間局部插值法，是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)，在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法，是地學(xué)統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容之一。

一、克里格插值來(lái)源

克里格插值方法是由南非采礦工程師克里格（Krige）于1951年首次提出，故命名為“克里格”法。這個(gè)方法被廣泛應(yīng)用于地下水模擬、土壤制圖等領(lǐng)域，成為GIS軟件地理統(tǒng)計(jì)插值的重要組成部分。這種方法充分吸收了地理統(tǒng)計(jì)的思想，認(rèn)為任何在空間連續(xù)性變化的屬性是非常不規(guī)則的，不能用簡(jiǎn)單的平滑數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行模擬，可以用隨機(jī)表面給予較恰當(dāng)?shù)拿枋觥５乩斫y(tǒng)計(jì)方法為空間插值提供了一種優(yōu)化策略，即在插值過(guò)程中根據(jù)某種優(yōu)化準(zhǔn)則函數(shù)動(dòng)態(tài)的決定變量的數(shù)值。Matheron，Krige等人研究的插值方法著重于權(quán)重系數(shù)的確定，從而使內(nèi)插函數(shù)處于最佳狀態(tài)，即對(duì)給定點(diǎn)上的變量值提供最好的線性無(wú)偏估計(jì)。

二、克里格插值基礎(chǔ)

克里格方法是空間統(tǒng)計(jì)方法的一種。所謂空間統(tǒng)計(jì)方法，其基本假設(shè)是建立在空間相關(guān)的先驗(yàn)?zāi)Ｐ蜕系摹＜僭O(shè)空間隨機(jī)變量具有二階平穩(wěn)性，或者是服從空間統(tǒng)計(jì)的本征假設(shè)，則它具有這樣的性質(zhì)：距離較近的采樣點(diǎn)比距離較遠(yuǎn)的采樣點(diǎn)更相似，相似的程度或空間協(xié)方差的大小，是通過(guò)點(diǎn)對(duì)的平均方差度量的。點(diǎn)對(duì)差異的方差大小只與采樣點(diǎn)間的距離有關(guān)，而與它們的絕對(duì)位置無(wú)關(guān)。空間統(tǒng)計(jì)內(nèi)插的最大優(yōu)點(diǎn)是以空間統(tǒng)計(jì)學(xué)作為其堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，物理含義明確可以克服內(nèi)插中誤差難以分析的問(wèn)題，能夠?qū)φ`差做出逐點(diǎn)的理論估計(jì)；它也不會(huì)產(chǎn)生回歸的邊界效應(yīng)。不但能估計(jì)測(cè)定參數(shù)的空間變異分布，而且還可以估算估計(jì)參數(shù)的方差分布。克里格方法的缺點(diǎn)是計(jì)算步驟較繁瑣，計(jì)算量大，且變異函數(shù)有時(shí)需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)人為選定。

克里格方法的使用范圍為區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性，即如果變異函數(shù)和結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果表明區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性，則可以利用克里格方法進(jìn)行內(nèi)插或外推，否則，是不可行的。其實(shí)質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)未知樣點(diǎn)進(jìn)行線性無(wú)偏、最優(yōu)估計(jì)。無(wú)偏是指偏差的數(shù)學(xué)期望為0，最優(yōu)是指估計(jì)值與實(shí)際值之差的平方和最小。也就是說(shuō)，克里格方法是根據(jù)未知樣點(diǎn)有限鄰域內(nèi)的若干已知樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)，在考慮了樣本點(diǎn)的形狀、大小和空間方位，與未知樣點(diǎn)的相互空間位置關(guān)系，以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息之后，對(duì)未知樣點(diǎn)進(jìn)行的一種線性無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)。

三、克里格插值優(yōu)點(diǎn)

克里格插值與常規(guī)的插值方法相比，具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）克里格方法建立在空間隨機(jī)場(chǎng)結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上，因而在計(jì)算時(shí)可以充分利用空間隨機(jī)場(chǎng)中的結(jié)構(gòu)性信息，降低估計(jì)的不確定性。

（2）克里格插值方法充分考慮了已知點(diǎn)與待估點(diǎn)之間的空間相關(guān)性。一般情況下，已知點(diǎn)離待估點(diǎn)越近，其權(quán)系數(shù)越大，但如果在某一方向上幾個(gè)已知點(diǎn)之間的距離較近，那么這幾個(gè)點(diǎn)的權(quán)值將會(huì)有較大的差別，其中，靠近未知點(diǎn)的權(quán)值較大，而稍遠(yuǎn)一些的就變得很小。

（3）在進(jìn)行克里格插值時(shí)，可根據(jù)待估點(diǎn)與已知點(diǎn)間的方位關(guān)系選用不同方向的變差函數(shù)，故而其估計(jì)結(jié)果也反映了空間隨機(jī)場(chǎng)的各向異性。

（4）克里格估值可以給出估計(jì)方差的大小，因而可以從一定程度上對(duì)估計(jì)的精確程度進(jìn)行評(píng)價(jià)。

四、克里格插值類型

克里格方法主要有以下幾種類型：普通克里格（Ordinary Kriging）、簡(jiǎn)單克里格（Simple Kriging）、泛克里格（Universal Kriging）、協(xié)同克里格（Co-Kriging）、對(duì)數(shù)正態(tài)克里格（Logistic Normal Kriging）、指示克里格（Indicator Kriging）、概率克里格（Probability Kriging）、析取克里格（Disjunctive Kriging）等。

不同的方法有其適用的條件，當(dāng)數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布時(shí)，若服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則選用對(duì)數(shù)正態(tài)克里格；若不服從簡(jiǎn)單分布時(shí)，選用析取克里格；當(dāng)數(shù)據(jù)存在主導(dǎo)趨勢(shì)時(shí)，選用泛克里格；當(dāng)只需了解屬性值是否超過(guò)某一閾值時(shí)，選用指示克里格；當(dāng)同一事物的兩種屬性存在相關(guān)關(guān)系，且一種屬性不易獲取時(shí)，可選用協(xié)同克里格方法，借助另一屬性實(shí)現(xiàn)該屬性的空間內(nèi)插；當(dāng)假設(shè)屬性值的期望值為某一常數(shù)時(shí)，選用簡(jiǎn)單克里格；當(dāng)假設(shè)屬性值的期望值是未知的，選用普通克里格。

五、克里格插值的發(fā)展

對(duì)于平穩(wěn)線性估計(jì)方法難以滿足的要求，非平穩(wěn)線性克里格的出現(xiàn)則突破了這一限制。在非平穩(wěn)的克里格方法中，具有代表性的是可以解決非平穩(wěn)區(qū)域化變量插值的泛克里格方法。除了非平穩(wěn)之外，有些區(qū)域化變量的空間性質(zhì)特別不穩(wěn)定，用線性估計(jì)方法已經(jīng)無(wú)法滿足要求，非線性克里格方法由此應(yīng)運(yùn)而生，如析取克里格等。由平穩(wěn)線性克里格到非平穩(wěn)線性克里格再到非線性克里格，克里格的每一步發(fā)展都是對(duì)原有假設(shè)的突破，其應(yīng)用范圍更加廣闊。不過(guò)上述方法都只局限于利用單變量的自相關(guān)特征進(jìn)行插值計(jì)算，還未利用除主要變量之外的任何信息。

自20世紀(jì)80年代以來(lái)，以馬特隆為首的楓丹白露地統(tǒng)計(jì)學(xué)派注意到不同空間隨機(jī)變量之間的互相關(guān)關(guān)系，從而提出了協(xié)同區(qū)域化思想，并創(chuàng)建了協(xié)同克里格方法。隨后他們又將不同變量之間的互相關(guān)擴(kuò)展為同一變量的時(shí)序互相關(guān)，又創(chuàng)立了時(shí)空克里格方法。在這一時(shí)期，克里格插值理論所利用的信息就不僅僅局限于主變量本身，而是擴(kuò)展到了輔助變量、主變量的時(shí)空信息、尺度信息等。

克里格插值理論的另一巨大發(fā)展就是以儒奈爾（Journal）為首的非參數(shù)地統(tǒng)計(jì)學(xué)派提出的以條件概率為核心思想的指示克里格方法，從而奠定了非參數(shù)地統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的基礎(chǔ)。非參數(shù)地統(tǒng)計(jì)通過(guò)引入高斯變形及指示函數(shù)等概念，可適用于各種類型的概率分布，并能有效克服離群值得影響，由此獲得了廣泛的應(yīng)用。與多元地統(tǒng)計(jì)學(xué)理論不同，非參數(shù)地統(tǒng)計(jì)學(xué)理論更加注重隨機(jī)變量的概率分布信息。

近年來(lái)，克里格插值方法的發(fā)展趨勢(shì)可用交叉與綜合來(lái)概括，產(chǎn)生了諸如指示協(xié)同克里格、多元因子克里格、指示條件模擬、多元?jiǎng)討B(tài)條件模擬等方法，這些方法的交叉融合再次從某種程度上反映了克里格估值理論的發(fā)展不斷擴(kuò)大了使用空間信息的范圍。

縱觀克里格估值理論的發(fā)展歷史，新的估計(jì)方法對(duì)空間信息的不斷包容性可以說(shuō)是一個(gè)鮮明的特點(diǎn)，而每一次對(duì)原有假設(shè)的突破以及對(duì)新型信息的利用，都意味著理論方法的一次創(chuàng)新。可以預(yù)見，未來(lái)的克里格估值理論也將會(huì)遵循這條主線繼續(xù)發(fā)展下去。

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