“見(jiàn)模”與“建模”，做實(shí)教學(xué)過(guò)程

蔡鳳娟

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，模型無(wú)處不在，數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、算式、圖表等都是數(shù)學(xué)模型，師生幾乎每一節(jié)數(shù)學(xué)課都在與它們打交道. 但如果學(xué)生只是接觸到數(shù)學(xué)模型，不懂得模型的內(nèi)涵，充其量只能算是“見(jiàn)模”，而不是“建模”. 怎樣才能幫助學(xué)生有效建模？這需要我們根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不斷地優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知路線，用數(shù)學(xué)建模的思想來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué). 一、把握建模時(shí)機(jī)

“建模”的過(guò)程，實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程. 建模的時(shí)機(jī)是否恰當(dāng)，要看“數(shù)學(xué)化”的程度如何. 建模的時(shí)機(jī)不當(dāng)，會(huì)使建模過(guò)程變成了簡(jiǎn)單的知識(shí)和技能的傳授過(guò)程. 下面以“認(rèn)識(shí)倍”為例剖析建模時(shí)機(jī)：

案例一：出示情境——3朵藍(lán)花，6朵紅花. 演示：把3朵藍(lán)花看成一份，圈一圈，6朵紅花可以圈2個(gè)圈，說(shuō)明6里面有2個(gè)3，紅花就是藍(lán)花的2倍. 列式表示6 ÷ 2 = 3.

案例二：①演示后操作，每3朵一圈，6朵紅花可以圈2個(gè)圈，紅花就是藍(lán)花的2倍. 用學(xué)具分一分，操作中感悟，（ ）里面有幾個(gè)（ ），（ ）就是（ ）的幾倍. 在腦子里想象操作過(guò)程. 三個(gè)活動(dòng)，從“看”到“做”再到“想”，逐步歸納操作方法，建立“圈”的動(dòng)作模型. ②數(shù)學(xué)表達(dá). 先看圖說(shuō)，“把2朵花看成一份，紅花里有3個(gè)2朵，所以紅花是藍(lán)花的3倍. ”再脫離具體物像說(shuō)，“6里面有3個(gè)2，所以6是2的3倍”. 建立“××里有幾個(gè)××，××就是××的幾倍”的語(yǔ)言模型. ③抽象化. 逐步抽象，由實(shí)物圖到集合圖到數(shù)字信息，讓學(xué)生說(shuō)倍數(shù)關(guān)系. （如圖1）④組織探尋算法.

比較兩個(gè)案例，前一個(gè)案例中，老師讓學(xué)生理解了6里面有幾個(gè)2，就迫不及待地端出了算式，算式雖由學(xué)生說(shuō)出，但學(xué)生并沒(méi)產(chǎn)生建模的需求. 第二個(gè)案例中，老師先在學(xué)生的頭腦中建立動(dòng)作模型，再通過(guò)交流建立語(yǔ)言表達(dá)模型，然后去掉圖例，擺脫對(duì)具象的依賴，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)式表達(dá)兩數(shù)倍數(shù)關(guān)系的需求，并最終根據(jù)除法的意義寫(xiě)出算式模型：（ ） ÷ （ ）. 兩個(gè)案例都在幫學(xué)生建立“倍”的數(shù)學(xué)模型，但第二個(gè)案例時(shí)機(jī)把握得更恰當(dāng). 由具體、形象的實(shí)例開(kāi)始，借助操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化，最后通過(guò)去形象化，歸納概括出數(shù)學(xué)表達(dá)式，賦予了“（ ） ÷ （ ）”更多的模型意義.

二、經(jīng)歷完整的建模過(guò)程

完整的建模過(guò)程分為這幾個(gè)步驟：實(shí)際問(wèn)題—建構(gòu)數(shù)學(xué)基本模型—解決數(shù)學(xué)模型—運(yùn)用檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停Ｐ团c實(shí)際問(wèn)題間的互譯與表達(dá)）. 經(jīng)歷完整的建模過(guò)程更有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的能力.

以“求相差數(shù)的實(shí)際問(wèn)題”為例：（1）提出問(wèn)題：怎么讓人一眼看出哪一種花片多？多多少？激發(fā)操作欲望. 學(xué)生提出用學(xué)具操作的辦法. 追問(wèn)：如果身邊沒(méi)帶學(xué)具怎么辦？有學(xué)生考慮畫(huà)圖. （2）建構(gòu)模型：數(shù)量很大時(shí)畫(huà)圖方便嗎？有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法？激發(fā)列式的需求. （3）解決模型：探索算法及算理. （4）練習(xí)鞏固后拓展和深化：“小熊比小兔少跳多少下”還可以怎么說(shuō)？（小兔比小熊多跳多少下？小熊再跳多少下就和小兔同樣多？小熊跳的增加多少下就和小兔同樣多？）除了用“……比……多（少）多少”來(lái)表示求相差數(shù)，你還知道哪些表示求相差數(shù)的說(shuō)法？（……比……高（矮）多少？……比……長(zhǎng)（短）多少？……比……貴（便宜）多少？）

“誰(shuí)的花片更多，多多少”是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，操作、畫(huà)圖使學(xué)生理解了這一生活問(wèn)題的數(shù)學(xué)意義. 操作、畫(huà)圖的局限，讓學(xué)生嘗試尋找簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題. 解決求相差數(shù)的問(wèn)題用加法還是減法，為什么用減法計(jì)算，這一數(shù)學(xué)活動(dòng)是探究數(shù)學(xué)模型的解法. 在應(yīng)用模型時(shí)，既有不同情境中的應(yīng)用，還將相似的問(wèn)題類化，通過(guò)解決一個(gè)典型，帶動(dòng)相關(guān)問(wèn)題的解決，由一個(gè)到一類，滲透一種數(shù)學(xué)規(guī)律的思想，也就是模型思想.

三、關(guān)注模型的表達(dá)

數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)處不在，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必然會(huì)利用一定的數(shù)學(xué)模型表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考. 研究學(xué)生數(shù)學(xué)模型的表達(dá)方式，既是為了正視學(xué)生的差異，也是為了檢驗(yàn)建模的效果，更是為了通過(guò)數(shù)學(xué)建模改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，改善老師的教學(xué)行為. 比如二年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)了“三位數(shù)加三位數(shù)”的知識(shí)，學(xué)生建立了哪些數(shù)學(xué)模型呢？從問(wèn)題庫(kù)中就能看出學(xué)生對(duì)加法問(wèn)題模型的不同理解.

（1）不同的學(xué)生關(guān)注的內(nèi)容不同

① 豎式中的未知數(shù) ② 筆算與估算 ③ 比較大小與計(jì)算 ④ 特殊數(shù)的計(jì)算

⑤ 相關(guān)實(shí)際問(wèn)題

（2）不同的學(xué)生采取不同的表達(dá)方式

① 圖文結(jié)合式 ②符號(hào)化表達(dá)式

③ 表格式 ④ 直觀形象與文本式

同樣的三位數(shù)加三位數(shù)的加法問(wèn)題，學(xué)生使用了多種形式表達(dá)自己獲得的模型，有的只能稱為模型的雛形，有的已經(jīng)有了抽象化的意味，有的能多角度詮釋加法模型的外延……這些模型給教師提供了豐富的信息，進(jìn)一步解構(gòu)就能成為我們制定教學(xué)計(jì)劃的源泉.

建模思想的教學(xué)，融會(huì)在具體知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中、教師的教學(xué)中，只有做好做實(shí)每一個(gè)師生的雙邊活動(dòng)，學(xué)生才能由被動(dòng)的“見(jiàn)模”變?yōu)橹鲃?dòng)的“建模”.