數學概念教學中的幾點“關注”

張曉兵

思維是數學教學的潛在目的，思維教育是數學教學的核心，數學問題的解決最終是通過思維實現的. 思維繼續和發展著感知和記憶表象的認識功能. 在數學學習中，幾乎每一個環節都需要思維. 在數學概念教學中，邏輯推理占據了最重要的一個部分，關注概念教學中的起點、要點、關鍵點，合理訓練學生的思維，提升他們的思維品質，都是我們需要著力思考和解決的問題. 筆者以“二次函數解析式的確定”為例，談談數學概念教學中的幾點關注.

一、關注起點

關注起點，需要關注設計編排的浸潤狀態，關注的是學生如何獲取內容，在設計編排的浸潤狀態中，學習內容應該是以整合的、相互關聯的方式向學生呈現的，提供的經驗中包含選擇和整體感.

對于用待定系數法求函數解析式的方法，同學們在研究一次函數解析式和反比例函數解析式的確定時已經涉及并能夠熟練應用. 遵循“學生會的，教者不教”，在課堂的開始，教者讓學生直面要研究的對象：“請根據你的學習經驗說說你如何用待定系數法求二次函數解析式. ”這時學生通過思考積極回答問題，總結出了先判斷函數類型，再設合適的含有待定系數的函數關系式，尋求合理的對應關系，構建方程或方程組，進而確定二次函數解析式. 這時教者進而提出：“二次函數解析式有三種形式，你如何選用合理的關系式呢？”此時學生們紛紛發言，積極補充，明確了三種關系式各自適用的情境，教者及時給出了學習建議“關注特征，合理選擇”.

二、關注能力

關注能力，需要關注學生的放松性警覺. 放松性警覺保證了學生在一種安全的情境下受到挑戰，學生的學習能力獲得提升，思維品質得到進一步鞏固.

運算能力是數學學習中重要的基本能力，它貫穿于學生數學學習的全過程. 教者常常會發現學生能夠想到這個數學問題如何解決，但就是得不出正確結果，很多時候就是因為運算能力不過關造成的. 所以教者應該在概念教學的始終都應見縫插針地訓練和提升學生的運算能力.

在學生明確了如何用待定系數法確定二次函數解析式后，教者及時拋出一個小題組，分別讓學生設一般式、頂點式、交點式求二次函數解析式，并對如何應用技巧提升運算效率進行了點撥. 在后續的練習中，學生掌握了一定的運算技巧，運算速度和正確率大幅提高. 所以適時適當地點撥指導讓枯燥的數學運算也有一些魅力，具備一定的吸引力，在學生邊運算邊思考“如何算得更快更巧”時，已不知不覺提升了自己的運算能力.

三、關注變化

關注變化，需要關注學習過程中的積極加工. 積極加工是指“學習者通過一種對個人有意義的以及概念上一致的方式鞏固和內化信息. 它是通向理解的唯一途徑，而不僅僅是為了記憶. ”

數學是強調變化、強調思維的學科，教者就應在概念教學中有意識地關注變化并適度加入概念的變式應用. 一題多解、一題多變是數學變化研究時常用的方法.

在同學們初步掌握應用待定系數法確定二次函數解析式之后，教者給出了三組變化.

第一組變化——法變. 例：若拋物線y = ax2 + 2x + c的對稱軸是直線x = 2，且函數的最大值是-3，求 a，c.同學們通過觀察思考，尋找出題目中的隱含條件——頂點坐標（2，-3），進而發現既可用頂點坐標公式求解，也可設頂點式求解.

第二組變化——法變形變. 例：拋物線過（-1，0），（3，0），（1，-5）三點，求此拋物線解析式.同學們發現可用一般式或者交點式求解，但是用交點式比較簡單. 這時教者讓同學們繼續觀察判斷，還有沒有特征點. 借助于拋物線的軸對稱性，學生很快就發現（1，-5）這個點是頂點，所以也可用頂點式. 此時教者沒有停下研究的步伐，改變了題目中給出的三個點，問題發生了形變：“拋物線過（-1，10），（3，10），（1，-5）三點，求此拋物線解析式.”學生用剛剛獲得的經驗，很快可以發現（1，-5）這個點仍然是頂點，進而設頂點式. 教者沒有滿足于現狀，為了進一步加深對概念的理解，形再變：“根據表格中的數據，求函數解析式. ”學生觀察表格中的數據，發現（1，-5）這個點仍然是頂點，還可設頂點式，再另選一對對應值代入即可.

第三組變化——形變而神未變. 例：拋物線在x軸上截得的線段長為4，且頂點坐標是（3，-2），求此拋物線的解析式.學生思考后發現借助于拋物線的軸對稱性，得到拋物線與x軸兩交點到對稱軸直線x = 3的距離都是2，從而寫出這兩個交點分別是（1，0）和（5，0），問題得解. 這時教者及時推出形變：“拋物線與直線y = 3兩交點間的距離是4，且頂點坐標是（3，-2），求此拋物線的解析式.”借助于原題的研究，運用類似的方法同學們很快就找到了思路. 思維的通暢讓同學們有了更多的躍躍欲試，教者適時推出了形變神未變：“拋物線與x軸交于A，B兩點，AB = 4，對稱軸為直線x = 3，頂點為點C，且S△ABC = 4，求此拋物線的解析式.”同學們紛紛提出自己的見解，在生生互動中，同學們發現這個問題中的頂點可能在x軸上方，也可能在下方，所以是多解問題，解題時容易漏解. 為了進一步拓寬同學們的思維，教者又提出形變而神似的問題：“拋物線與x軸兩交點的距離為3，且經過點（2，8）和（0，-4），求此拋物線的解析式.”經過師生互動，學生發現仍然是抓住對稱性，明確兩交點間的關系，可設左邊的交點坐標為（x1，0），可設函數關系式為y = a（x - x1）（x - x1 - 3），然后把其余兩點坐標代入即可解決問題.

通過這三組變化，同學們的思維得到了錘煉和提升，也明確了自我研究、自我拓展的方向. 由于這樣的變化，學生對概念的內涵、外延有了更深的認識和體會，也明確了學習研究的方法，學習能力得到了較大的提升.

【參考文獻】

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