圓錐曲線的復習教學案例

羅時紅

一、教學內容分析

本節選自《普通高中課程標準實驗教科書（選修1-1）數學》（人教版）高二下，第二章圓錐曲線與方程的復習課。圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質屬性，也是有關圓錐曲線問題的精髓。如果能很好地利用定義解題，那么很多時候能以簡馭繁。因此，我們在把新課學完后有必要再回到定義上，熟練掌握“利用圓錐曲線定義解題”這一重要的解題方法。

二、學生學習情況分析

這屆高二學生在高一時就是學習的新課程，因此他們對新課程并不陌生。與以往的學生相比，這屆學生的特點是：參與課堂教學活動的積極性更高，思維敏捷，敢于在課堂上發表與眾不同的見解，計算能力比以前有所減弱，字母推理能力更強些，使用數學語言的表達能力也略比以前強。

三、設計思想

圓錐曲線這章的知識較為抽象，比較難理解。如果離開感性認識，則容易使學生陷入困境，降低學習熱情。在教學時，我積極引導學生利用數形結合思想解題，增強解題的直觀性，強調學生“探究”的發揮。借助多媒體，引導學生主動發現問題、解決問題，主動參與教學，在輕松愉快的環境中發現、獲取、探究新知，提高教學效率。

四、教學目標

（一）深刻理解并熟練掌握圓錐曲線的定義，能靈活應用定義解決問題；熟練掌握焦點坐標、頂點坐標、焦距、離心率、準線方程、漸近線、焦半徑等概念和求法；能結合平面幾何的基本知識求解圓錐曲線的方程。

（二）通過練習題，加深對圓錐曲線定義的理解，培養學生的思維能力、解決問題能力；通過對問題的不斷引申，精心設問，讓學生掌握解題的一般思路和方法。

（三）借助多媒體輔助教學，激發學習數學的興趣。在民主、開放的課堂氛圍中，培養學生敢想、敢說、勇于探索、發現、創新的精神。

五、教學重點與難點

（一）教學重點：

1.加深對圓錐曲線定義的理解；2.運用圓錐曲線的定義求“最值”問題；3.運用“定義法”求動點軌跡方程。

（二）教學難點：巧用圓錐曲線定義解題。

六、教學過程設計

（一）設計思路：由于這是一堂復習課，加上我所任教的班級是文科班里的本科班（學校稱之為尖子班），學生有較好的數學基礎，學習積極性較高，領悟能力較好，因此在教學中，我擬采用師生共同參與的教學方法：由教師提出問題，激發學生積極思考，引導他們運用已有知識經驗，以小組合作形式通過探究獲取新知識。通過個別回答、集體修正的方法讓我及時得到反饋信息。最后，我根據學生回答問題的情況進行小結，概括出問題的解決方法，給出正確答案，并指出學生解題方法的優缺點。

1.先提出問題

先給出以下幾個問題：

例1：（1）已知A（-4，0）、B（4，0），動點M滿足|MA|+|MB|=6，則點M的軌跡是（ ）。A.線段 B.橢圓 C.雙曲線 D.不存在

（2）已知動點M（x，y）滿足=|6x+8y|，則點M的軌跡是（ ）。

A.兩條相交直線 B.雙曲線 C.拋物線 D.橢圓

設計意圖：定義是揭示概念內涵的邏輯方法，熟悉不同概念的不同定義方式，是學習和研究數學的一個必備條件，通過一個階段的學習之后，學生對圓錐曲線的定義已有了一定的認識，他們能否真正掌握它們的本質，是本節課首先要解決的問題。為了加深學生對圓錐曲線定義的理解，我以圓錐曲線的定義的運用為主線，精心準備了兩道練習題。

學情預設：估計學生能很快回答出題（1），但是學生對圓錐曲線的定義可能并未真正理解，因此我再補充：若想答案是其他選項的話，條件要怎么改？學生差不多都能解決。問題（2）就可能讓學生費一番周折了。此外我還對問題進行引申，以此深化對概念的理解。

2.理解定義、解決問題

例2：（1）已知動圓A過定圓B：x+y+6x-7=0的圓心，且與定圓C：x+y-6x-91=0相內切，求△ABC面積的最大值。

（2）在（1）的條件下，給定點P（-2，2），求|PA|+|AB|的最小值。

（3）在（2）的條件下求|PA|+|AB|的最小值。

設計意圖：運用圓錐曲線定義中的數量關系進行轉化，使問題化歸為幾何中求最大（小）值的模式，這是解析幾何問題中的一種常見題型，也是學生比較容易混淆的一類問題。例2的設置就是為了方便學生辨析。

學情預設：本題的關鍵在于能準確寫出點A的軌跡，有了例1的鋪墊，對例2（1）、（2），多數學生應該能準確給出解答，但例2（3）是少見的問題，學生估計解不出來。這時借助于實物投影儀，會有學生發現當P、A、B三點共線時，取得最小值。那么，我再鼓勵學生進行大膽猜想，讓學生尋找到點B所在的正確位置后，叫學生演練出正確的解題過程，并借助實物投影加以演示。最后由學生進行歸納小結：在橢圓中，當定點A不在橢圓內部時，則A，F的連線與橢圓的交點M就是使|BA|+|BF|最小的點；當定點A在橢圓內部時，則A與另一焦點F的連線的延長線與橢圓的交點B即為所求。

3.再進行自主探究、深化認識

練習：設點Q是圓C：（x+3）+y=36上動點，點A（2，0）是圓內一點，AQ的垂直平分線與CQ交于點M，求點M的軌跡方程。（若將點A移到圓外，點M的軌跡會是什么？）

（二）知識鏈接：圓錐曲線定義的應用舉例練習（第一定義和統一定義）。

1.雙曲線-=1的兩焦點為F、F，P為曲線上一點，若P到左焦點F的距離為12，求P到右準線的距離。

2.在拋物線y=2px上有一點A（4，m），A點到拋物線的焦點F的距離為5，求拋物線的方程和點A的坐標。

3.已知A（4，0），B（2，2）是橢圓-=1內的點，M是橢圓上的動點，求|MA|+|MB|的最小值與最大值。

七、教學反思

本課將借助于PowerPoint課件，利用兩個例題及其引申，通過一題多變、層層深入的探索，培養學生思維的深刻性、創造性、科學性和批判性，使學生從學會一個問題的求解到掌握一類問題的解決方法，領略數學的統一美。另外，多媒體的使用讓抽象的數學問題變得形象、生動且通俗易懂，同時節省了時間給學生思考問題和發現問題。這正吻合了以學生為主體的探究—合作式教學新理念。

（一）“滿堂灌”、“滿堂問”的教學方式已為越來越多的教師所摒棄，我期望在教學中能多嘗試使用“探究—合作”式教學模式進行教學，使學生的“知識的獲得過程”不再是簡單的“師傳生受”，而是讓學生依據自己已有的知識和經驗主動加以建構。并在這個建構過程中，教師是引導者，學生才是主體、是知識的主動建構者。因此所設計的問題應該定位在學生認知的最近發展區。

（二）在有限的時間內突出重點，突破難點，給學生留有自主學習的空間和時間。我把“定義法求軌跡問題”分置于例2（1）與練習中，循序漸進地讓學生把握這類問題的解法；將學生容易混淆的兩類求“最值問題”并為一道題，方便學生進行比較、分析。

（三）現代教育技術的發展為我們提供了良好的教學條件，然而，教師所編導的教學活動應該隨著整體環境的變化、學生群體的變化而變化。

參考文獻：

[1]選修1-1.數學人教版A版.