全等三角形證明的教學(xué)體會

李寧波

摘 要： 全等三角形的證明是初中幾何證明的重要基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)中，緊扣教材抓住課本的重點詞，充分利用公理及推論的字母表示形式推理，根據(jù)幾何證明的“推理特征”，培養(yǎng)學(xué)生的解題目標意識和學(xué)生的逆向思維能力。

關(guān)鍵詞： 全等三角形 對應(yīng)位置 逆向思維

三角形全等的證明是初中幾何證明的重要基礎(chǔ)，也是證明線段、角相等的方法之一。如何使學(xué)生更好地掌握它，關(guān)系學(xué)生對幾何學(xué)習(xí)的情感與態(tài)度。因此，它一直是師生都在探究的一個問題。下面筆者就此談?wù)勼w會。

一、緊扣教材，抓住課本中的一句話做文章

人教版九年義務(wù)教材中《幾何》第二冊某頁第一句話為“論兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上”，并且舉例進行了說明。在教學(xué)過程中，筆者就這句話向?qū)W生強調(diào)：“既然課本教材這樣要求，那么通常情況下，我們應(yīng)該遵循，因為這樣做有兩個好處，一是使大家養(yǎng)成按對應(yīng)頂點，記全等三角形的習(xí)慣。二是以后我們遇到題中寫有兩個三角形全等，不論它是出現(xiàn)在已知還是求證中，我們都可以利用它是按對應(yīng)頂點記的這一特點，找到各對應(yīng)邊和對應(yīng)角，為證明找到正確的目標。”例如一道題目中出現(xiàn)了“△ABC≌△DEF”（無論在已知中還是求證中）。由于點A對應(yīng)點D，點B對應(yīng)點E，點C對應(yīng)點F，因此無需看圖，直接就能迅速指出兩個三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角。方法是先將其字母編號，如△ABC≌△DEF，再按“1、2”、“1，3”“2，3”找出對應(yīng)邊為“AB=DE，AC=DF，BC=EF”，按“123”、“132”、“213”（強調(diào)1、2、3各有一次在中間做角的頂點）找出對應(yīng)角為∠ABC=∠DEF、∠ACB=∠DFE、∠BAC=∠EDF，為觀察圖形和找出問題思路提供了很大的方便。

二、充分利用公理及推論的字母表示形式去推理，培養(yǎng)學(xué)生解題的目標意識

三角形全等的證明有三條公理、一條推理，以及直角三角形特有的斜邊、直角邊公理，每一個公理及推論教材上都給出了表示形式，如SAS、ASA、SSS、AAS及HL。在學(xué)生理解了公理和推論的情況下，就可以利用題目中的已知邊（角）迅速準確地確定要補充的邊（角），不致盲目地而能有目標地完善三角形全等的全等條件。

1.假如題目中已知兩邊，則記為“SS”，根據(jù)公理，推論的要求，要有兩條邊的中間補上一個角或一條邊。再順此思路繼續(xù)探究、完善。

2.假如題目中已知一邊、一角，則記為“SA”，就應(yīng)補充上另一個角或另一條邊。

3.假如題目中已知兩角，則記為“AA”，應(yīng)補上一條邊。并根據(jù)此三種情況畫示意圖：

（1）SS：S（A）S（即找其夾角）

S（S）S（即找第三邊）

（2）SA——（A）AS（即再找SA：（A）SA（即再找一對角）

SA（S）（即找角的另一鄰邊）

（3）AA：AA（S）

A（S）A（即再任意找一對邊）

三、根據(jù)“幾何證明”的推理特征培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

解決數(shù)學(xué)問題的過程，一般總是從正面入手進行思考的，這是解決數(shù)學(xué)問題一種基本的思想方法。但是，有時會遇到從正面考慮比較復(fù)雜甚至無法解決的情況，這時若從問題的反面思考，或者逆用相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系，就可以順利解決問題，而且解題步驟較簡捷。這就是解決數(shù)學(xué)問題的另一種思考方法——逆向思維。

如幾何證明中，往往從已知推出結(jié)論時比較困難，找不到頭緒，無法下手，可以結(jié)論向已知推導(dǎo)分析，條理清楚，這時再順著推理證明就得心應(yīng)手了。經(jīng)常采用逆向思維解題，有利于鞏固數(shù)學(xué)知識，提高解題能力，發(fā)展智力。

四、注重探索結(jié)論，培養(yǎng)能力，實際聯(lián)系

三角形全等的這些判定方法都是可以證明的，都可以作為定理，但是，這些定理（除邊邊邊定理外）的證明方法都比較特殊。學(xué)生開始學(xué)習(xí)這些判定定理時，掌握定理的內(nèi)容并不困難，困難的是定理的證明，而這些特殊的證明方法，通過畫圖和試驗，使學(xué)生確信它們的正確性。探索兩個三角形一定全等，總的發(fā)展脈絡(luò)是三邊，兩邊一角，一邊兩角，三個角，這樣學(xué)生容易把握探索的過程。盡量排除人為安排的因素，呈現(xiàn)得更自然。學(xué)完三角形全等判定的方法，讓學(xué)生將三角形全等的判定方法運用于直角三角形，得出直角三角形全等的判定的方法。對于滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形，不能運用三角形全等的判定方法進行判斷，需要學(xué)生進一步實踐探索。

在證明兩個三角形全等的證明格式基礎(chǔ)上，進一步介紹推理論證的方法，要求學(xué)生有理有據(jù)地推理證明，精煉準確地表達推理過程，是比較困難的。在教學(xué)中，要注意采取措施解決這個難點。

1.注意減緩坡度，循序漸進。開始階段證明方向明確，過程簡單，書寫容易規(guī)范化。這一階段要求學(xué)生體會例題的證明思路及格式，然后逐步增加題目的復(fù)雜程度，小步前進，每一步都為下一步做準備，下一步又注意復(fù)習(xí)前一步訓(xùn)練的內(nèi)容。特別是通過精心選擇全等三角形的證明問題，能減緩學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明的坡度。

2.在不同的階段，安排不同的練習(xí)內(nèi)容，突出一個重點，每個階段都提出明確要求，便于教師掌握。先讓學(xué)生會證明兩個三角形全等，然后安排通過證明三角形全等，證明兩條線段或兩個角相等的問題，從而熟悉證明的步驟和方法。在此之后，安排的問題設(shè)計以前學(xué)過的平行線等內(nèi)容，重點培養(yǎng)學(xué)生分析問題、根據(jù)需要選擇有關(guān)的結(jié)論證明的能力。

3.注重分析思路，讓學(xué)生學(xué)會思考問題，注重書寫格式，讓學(xué)生學(xué)會清楚地表達思考過程。例如在“三角形全等的判定”一節(jié)，證明例1的結(jié)論“△ABD≌△ACD”以前，首先指出證題的思路：“要證△ABD≌△ACD，可看這兩個三角形的三條邊是否對應(yīng)相等。”師生共同思考：①由已知條件AB=AC可知，這兩個三角形有一對相等的邊。②從圖上看，AD既是△ABD的邊又是△ACD的邊，所以是這兩個三角形第二對相等的邊。③關(guān)鍵是第三對邊BD，CD是否相等。由D是BC的中點可知，BD=CD，它們是這兩個三角形第三對相等的邊。④邊邊邊條件得到滿足。因而△ABD≌△ACD。為了清楚地表達上述思考過程，引入“∵”“∴”符號及綜合法證明的格式，把證明的過程簡明地表達出來。

4.在“全等三角形”中，應(yīng)注意從實際例子引入，并讓學(xué)生舉出一些例子。這樣做既可以使學(xué)生易于理解相關(guān)概念，又可以調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性，用全等三角形可以說明實際測量方法的道理。教科書在例題和習(xí)題中安排了測量池塘兩端的距離、測量河兩岸相對兩點的距離、用卡鉗測量工件的內(nèi)槽寬等內(nèi)容，還安排了利用三角形全等測量旗桿高度。教學(xué)時應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生運用全等三角形解決這些問題。

上述四種方法要講解清楚不難，且易于為學(xué)生所接受，學(xué)生一旦掌握，就能快速按時對應(yīng)頂點的位置找到對應(yīng)角、對應(yīng)邊，又能按已知的對應(yīng)（角）邊迅速準確補充需要的對應(yīng)角（邊）。這樣做，學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的積極性會大大提高，并能為今后學(xué)習(xí)相似三角形打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]義務(wù)教育人教版八年級數(shù)學(xué)教科書.

[2]數(shù)學(xué)課程標準.