畫圖：從經歷走向經驗

吳小潔　丁君華

大凡數學學得好的人都有這樣的經驗：面對一個復雜的問題，若能借助直觀圖形進行分析思考的話，問題往往能輕松得到解決。畫圖在數學學習中的重要性不言而喻，通過畫圖，能把抽象問題具體化、直觀化，從而幫助學生理清思路，找到解決途徑。斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖像，那么就整體地把握了問題。”因此，從學生第一學段的學習開始，我們就嘗試有意識地滲透畫圖策略的教學，幫助學生逐步積累畫圖經驗，希冀為學生的數學學習能力的持續發展夯實基礎。

一、“畫個圖就行了。”——初步體驗畫圖的優越性

圖形，因其直觀、形象的特點頗受低年級孩子的青睞。當遇到條件相對隱含、容易混淆的數學問題，但又需要學生抓住問題本質時，不妨引導學生請出圖形來幫忙，進一步理解題意，為分析解決問題作好準備。如一年級上冊“小動物排隊”的問題：

學生直接讀題后，發現有點說不清、道不明，這時一個孩子迸出了這樣的想法：“畫個圖就行了！可以用一個圈來表示一個小動物……”教師因勢而導：“真是個好辦法！畫一畫就行啦！根據‘從前往后數，第5只是小鹿這個信息，怎么來畫出小鹿的位置？再根據‘從后往前數，第8只是小鹿又該怎樣畫出小鹿后面的小動物呢？”學生進一步思考，紛紛畫出了能夠較好解決問題的圖。有圖如下：

由于每個孩子在畫后面的小動物時，想法不同、畫法不同，所以他們的算法也是各不相同：有5+8-1=12（只），也有5+7=12（只），還有4+1+7=12（只）。但不管是哪種算法，他們通過畫圖，都清楚地明白了：在一條隊伍中，小鹿是從前往后數的第5個，又是從后往前數的第8個，小鹿被重復數了兩次，所以求“一共有多少只小動物”，要去掉多數的一次。

蘇教版數學教材在各個年級中也螺旋式編排了相應的教學內容，旨在讓學生體驗畫圖的優越性。

如二年級下冊《求比一個數多（少）幾的實際問題》中，通過將兩行花片一一對應擺放來解決小華擺了多少個，到感受用方格一格一格擺出的32格太麻煩了，將每個格子合并起來變成直條，產生直條圖，再到借助直條圖來感受兩個量之間的關系，讓學生通過“畫圖”操作活動，完成由“形象”的物到“半抽象”的直條圖的過渡。

《倍的認識》一課中，不僅有實物操作、直條圖的呈現，更是在“認識倍”之后的練習，出現了線段圖的雛形：要求學生分別量出兩條線段的長度，并說說第一條線段是第二條線段的幾倍。從根據豐富的實物圖直觀感知、直條圖表征，到線段圖提煉概括，完成了由“半抽象”的直條圖到“抽象”的線段圖的過渡。

到三年級上冊《解決兩步計算的實際問題》教學時，第一次正式要求學生補充完成線段圖，讓他們初步學會畫線段圖的基本方法，會用直觀簡練的線段圖來描述數學問題，并能借助其來分析和解決實際問題。

二、“圖，可以這么畫。”——適切指導，積累畫圖技巧

我們在實際教學中往往會發現：在解決容易的問題時，孩子們不愿意畫圖來分析，遇到困難時，常常想到畫圖來思考，但苦于平時沒有掌握基本的畫圖技巧，就沒法用起來。因此，教師要用心呵護學生畫圖意識的萌芽，并給予適切的畫圖指導。

1.及時指導，適合即可

學生剛萌發畫圖的意識時，我們對于他們的畫圖要求不可過高，可以不要求他們所畫線段圖與教材中呈現的一模一樣，也可以暫時不追求圖的美觀與比例的準確性，只要基本符合問題的數量關系即可。

在面對具體的數學問題時，由于每個孩子理解水平的不同，我們要因材施教，鼓勵孩子用便于自己理解、能夠表達的方式來畫圖表征題意。如三年級的一個問題：“一本《新華字典》9元6角，小華每天存3角，存多少天才能買一本《新華字典》？”孩子們畫出了三種圖，展示了他們個性化的思考與表達。在此過程中，重要的是讓學生充分感受到用畫圖的方法整理信息對于解決問題的價值，體會畫圖是解決問題的一種常用策略。

當然，教師作為線段圖構造的示范者和指導者，我們要幫助學生獲得畫線段圖的基本方法與技能，使他們學會用線段圖表示一些基本的數量關系。如學習“倍”的知識，學生第一次接觸線段圖，他們涌動著畫圖的熱情，教師就應順勢啟發學生思考：如何恰當地確定“一個單位的長度”——畫得太長，接下來3個單位的量不夠畫；畫得太短，看不清楚。對于如何表示3個單位長度，盡管學生年齡小，剛開始也會畫得不太標準，但教師的示范一定要到位，關系一定要厘清：兩條（或三條）線段的左端要對齊，便于比較；倍比關系的實際問題中，通常先畫單位“1”的量；行程問題中要根據數量的大小，確定1格的長短等等。這些技巧在教學中逐步地相機滲透，這樣將更有利于提高學生畫圖表示題意的準確性。

2.階段引導，適當規范

當學生在第一學段接觸用線段圖來表達題意時，肯定會遇到很多問題，特別是兩個量存在相差關系或倍數關系時，該先畫哪個量，再畫哪個？常常，學生會有一個慣性的認識，哪個已知，就先畫。如相差關系的例子：

例（1）：①一件上衣45元，一條褲子比一件上衣貴12元，一條褲子多少錢？

②一件上衣45元，比一條褲子貴12元，一條褲子多少錢？

像例（1）這樣兩個量相差關系的實際問題，孩子們往往會受“貴”這個字的負面影響，兩題都列式為45+12=57（元）。于是試著讓他們畫圖思考，他們畫出的圖是這樣的（圖1）：

于是，有些教師就想到，引導孩子在第②小題畫圖之前，把“一件上衣比一條褲子貴12元”轉化成“一條褲子比一件上衣便宜12元”，再來畫圖。其實，會先轉化后畫圖的孩子，思維水平肯定是比較高的，對于另一部分學生，我們如何讓他們找到基本的畫圖方法呢？不妨在適量的看圖、畫圖練習后，幫助他們進行歸納：兩個量比多少的實際問題，總是以某個量為標準量，另外一個量去和這個標準比較。因此，我們通常可以先畫標準量，再與之比較，去畫另一個量（如圖2）。

又如倍數關系的例子：

例（2）：①白兔拔了21個蘿卜，灰兔拔的是白兔的3倍。灰兔拔了多少個？

②白兔拔了21個蘿卜，白兔拔的是灰兔的3倍。灰兔拔了多少個？

一般實際問題在畫圖時，可以先畫已知量，再畫未知量。但當學生遇到如例（2）這類問題時，有的教師就引導他們先畫一份數，再畫幾份數。這種方法確實可行。

其實，如果我們可以把相差關系和倍數關系兩者聯系著來觀察，歸納出這兩類問題畫圖方法的相同處。不管是相差關系還是倍數關系，都是兩個量比較的一種結果，只是比較的結果不同。由于都表示兩個量在比較，因此通常都用兩條線段來畫；兩個量在比較，都是先確定一個量是標準，另一個量去與之相比較，所以不管是相差關系的實際問題，還是倍數關系的實際問題，我們通常都先畫標準量。這樣，當第一學段的孩子遭遇“一個數的幾倍多（少）幾的實際問題”順向或逆向的問題，就找到了相對統一的畫圖技巧，會覺得畫圖再也不是那么變化多端的事情了。

在長期規范的畫圖指導之后，對于有些簡單的、學生容易想通的問題，也可以讓他們在腦中畫圖，然后根據腦中的圖來解決問題，從真正意義上提高學生的解題能力。這是畫圖的高層境界，也是我們追求的目標。

三、“你能看懂這圖嗎？”——在畫圖與看圖間轉換，促進思考

通過畫圖，能把復雜的數學問題變得簡明、形象。但有的學生畫了圖，卻依然看不出隱含的數量關系。其實，不能為了畫圖而畫圖，畫圖的目的在于促進學生思考，使復雜變得簡明，內隱變得形象。這就需要教師在畫圖的同時關注學生的讀圖分析能力，將學習的視角在畫圖與看圖間靈活轉換，幫助學生積累看圖的經驗。

如：一件上衣45元，一條褲子比一件上衣貴12元，一套衣服多少錢？學生在解答這題時，只用了一步：45+12=57（元）。有位教師發現學生的錯誤解答后，指導孩子畫圖如下：

讓學生試著看圖分析題意，說說已知什么條件，要求什么問題，要怎么思考。當時，老師以為是學生沒有看清問題。可是，他們在分析時依然堅持自己的算式是正確的。納悶之下，教師分小步引導：在圖中，找一找你算式中的每個數分別指的是線段圖中的哪一部分？分別表示什么？學生的困惑終于在教師面前顯露出來：原來他們認為45元是上衣的價格，12元是褲子的一部分價格，所以合起來就是一套衣服的價格，這說明他們看圖分析的經驗是比較薄弱的。在一步計算的時候，由于問題簡單，往往模仿列式，并沒真正理解45+12的意義。因此，教師在教學一步計算的問題時，可以適當出一些根據算式說說算式中每個數在線段圖中所表示的部分及其意義，弄清45元表示上衣和褲子相同的一部分錢，12元表示褲子比上衣多出的另一部分，兩部分合起來就是上衣的價錢。

又如，三年級上冊在學習《長方形和正方形的周長》后，學生共同解決一個問題：“在一張長7厘米、寬5厘米的長方形紙張中，剪下一個最大的正方形。正方形的邊長是（ ）厘米，周長是（ ）厘米。”他們通過畫圖，回答第一個問題基本不存在障礙，但是面對第二個問題時卻不知所措。原以為是學生不知道求什么圖形的周長，后來才發現，他們看著自己畫的圖，也不知道是求哪一部分的長度。這說明學生對在復雜情境中找到所要求的問題還是存在一定困難。因此，有必要引導他們理解周長的概念：“什么是正方形的周長？在圖中指的是哪一部分線段的長度？用彩筆描一描。”學生在動手描的過程中，清晰了概念，厘清了問題。

四、“你是怎么解決這個問題的？”——在反思中提升畫圖經驗

畫圖經驗的積累，需要學生對解題方法進行多次的感悟、優化、抽象與概括，在解決問題過程中用畫圖經驗不斷進行積淀、內化、總結與升華，同時體會畫圖的價值。

如：三年級上冊《用兩步連乘解決實際問題》中有這樣一題：

用兩步連乘的方法解決實際問題，一個不可避免的問題是：從三個已知數量中任選兩個數量相乘，再乘第三個數量，這樣的解題策略是正確的，它既能用“假設法”來闡述道理，也符合“乘法交換律、結合律”。無論有沒有上過這節課，在解決類似的問題時，不少學生都會選用這樣的解題策略，雖然他們不一定都能說清其中的道理。因此孩子們在解答這題時列出了如下的算式：

（1）8×5=40（臺），40×4=160（臺）

（2）8×4=32（臺），32×5=160（臺）

（3）5×4=20（天），8×20=160（臺）

追尋其每步求的是什么時，雖有少數學生能用語言清晰地表達，但多數停留在對數據特征“跟著感覺走”的表面化的猜想上，并未真正從數量關系的角度去分析問題。因為這里涉及的量并不是“單一”關聯的量（如，“每人裝8臺電腦”），而是一個“雙關聯”的量（如“每人每天裝8臺電腦”）。由于第一次涉及雙關聯量要直接以語言敘述來表述清楚，對于三年級的學生來說，思維水平的發展還未能達到這樣的抽象水平，的確存在著困難。這就要我們抓住乘法的意義，一步步引導學生：“如果用符號‘□來表示一人一天裝8臺電腦，你能用圖來表示8×5的意思嗎？這一步求的是什么？第二步算式表示什么？接著自己先畫一畫，再說一說好嗎？”

孩子們在老師提示下，試著畫出了上面的圖。看著畫出的方格示意圖，使得雙關聯的相乘的意義，變得形象、直觀，易于理解。更加意外的是，對于第（3）種解答，班里的學生竟然能畫出下面的圖，用假設的思路來解釋自己的算理：4個人干5天的活，假如讓一個人去做，就相當于一個人做5×4=20（天）。

像這樣，讓孩子在“欲求而不得”的情況下，借助線段圖來尋求突圍，在解釋、反思時，自主“補”出圖，來解釋、驗證自己的思路，才能真正發揮畫圖的效用。

畫圖，是一種重要的學習策略，“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”若能從第一學段的教學起，遇到問題，教師就鼓勵學生自己畫出圖思考一番，讓他們尋找并不斷體驗“當數形結合便能豁然開朗”的樂趣，久之，他們自然就積淀了豐富的畫圖經驗。這樣的經驗積累，能讓學生主動溝通數和形的密切聯系，運用直觀的形啟迪抽象的數，在數與形的相互轉化、相互滲透中，融會貫通，應用自如。

（吳小潔、丁君華，無錫市玉祁中心小學，214100）

責任編輯：宣麗華