著名華裔數學家丘成桐

作者簡介：丘成桐，著名華裔數學家，哈佛大學終身教授、美國科學院院士、中國科學院外籍院士及多個國家科學院的外籍院士。曾獲得數學界最高榮譽菲爾茲獎、有數學家終身成就獎之稱的以色列沃爾夫數學獎、瑞典皇家科學院克拉福德獎等數學界頂級榮譽。

幾何起源：畢達哥拉斯-柏拉圖-歐幾里得-傅里葉

“數學跟大自然一祥廣泛、豐富，和大勻然走的是相同的軌道，也共同見證著宇宙的包容、簡潔、穩定”。

今天很高興在這邊做這個演講。我對文學、人文科學其實都不是很懂，都是自學，所以講人文方面都是班門弄斧，希望你們能夠原諒。今天講的幾何學倒是我的專長。我研究幾何學45年，對幾何一直都是很喜歡，我的數學就是從幾何學來，以后更應用到很多方面。

現在我們來講幾何的起源。幾何起源很老，基本上有4000年的歷史。古代人在生活實踐中發現了很多簡單的幾何圖形。發覺它們滿足了一定的規律——簡潔、明了，具有一種美感。于是他們開始研究幾何，這種美感令人贊嘆。幾何圖形，在埃及、巴比倫都有很多論述，但這些論述都不是系統化的。

泰勒斯

到公元前68年。幾何學在希臘文明中才得到明確的推崇。第一位對幾何有興趣的希臘哲學家叫泰勒斯，他開始曉得不能夠用神秘宗教來解釋自然。要創造一個演繹的方法，利用邏輯的思想來統一自然界與幾何的現象。這是一個很大的突破，以前哪個國家的文化都沒有這種想法。

畢達哥拉斯

他的學生畢達哥拉斯采取了定理證明的概念，畢達哥拉斯學派很重要，影響了整個西方的科學思想，這里不是一個人，是一群數學家。他們認為宇宙的實體有兩個：一個是數字，萬物都是數字，數的存在是有限方面的實體；一個是無限的空間，空間是存在的無限的實體。數字跟空間合在一起，生出宇宙萬象。這個概念一路影響到今天，不僅僅是幾何本身，早在16世紀發展解析幾何的時候，就用到坐標系統、用到數字來描述，到現在計算機能夠用數字來描述，世界上一切東西都跟這個有關；而我們看到物體的分布影響到空間幾何，也受到空間幾何的影響，這個概念也是近代物理愛因斯坦推崇的主要概念。

柏拉圖的三個著名幾何問題

第三個重要的人物是柏拉圖，他是一位哲學家也是數學家。他在雅典郊外成立了一個很出名的學院叫Academy（也稱柏拉圖學園），相傳他的文章講“不懂幾何學者，不能進這個學園的門”，可見柏拉圖在希臘學界多么重視幾何學。這種理念也影響了西方科學相當長的時間。柏拉圖雖是哲學家，但他對數學有很濃厚的興趣。他認為幾何在三維空間里只有五個正多面體，跟二維空間不一樣。這個命題在歐幾里得的《幾何原本》中被證明。

柏拉圖提出了三個著名的幾何問題：三等分一角；構造正方形與單位圓同面積；構造立方體，其體積是單位立方體的兩倍。我希望你們在中學學過這三個問題，這三個問題影響數學界差不多2000多年，第三個問題在中國、印度亦出現過。如果容許用復雜的機械來解決這三個問題，古代數學家早已找到答案，但柏拉圖堅持我們用最單純的幾何方法，即只靠圓規和直尺來構造，也因此這三個問題影響了很久。

第三個問題又叫Delos問題，傳說Delos城的居民為了解除太陽神阿波羅降給他們的瘟疫，向智慧女神神廟的祭司求救，祭祀要求他們做一個立方體。它的體積要剛巧是阿波羅祭壇立方體的一倍。他們不懂得怎么解決，只好向柏拉圖請教。這個問題有很久的歷史，可能是蠻有興趣的一個傳說。

伽羅華群論

柏拉圖提出的這三個幾何問題直到19世紀伽羅華理論出現后，才得到完滿的解決。伽羅華是位年輕數學家，21歲就去世了，他解決這個問題的時候才20歲，留下了很多重要手稿。他的方法中用到一個很重要的概念叫群論。用群論解決了這三個問題。他們發現這些問題跟用圓規與直尺構造的數字有密切關系。他們發現這些數字必須滿足一些以整數位系數多項式方程式。然而，假如用圓規與直尺來做的話，這三個問題所產生的數字并不能滿足這些方程，因此，這些古典問題是不能用圓規和直尺來解決的。

這三個很古老的問題，直到19世紀用相當高深的數學才能完滿地解決。這三個問題只不過是好奇，可是解決它們的方法卻影響到近代數學與近代科學的發展。伽羅華群論成為20世紀、21世紀最重要的理論之一。

歐幾里得五條公理

歐幾里得是柏拉圖之后幾何學的集大成者。他由五條公理推到大量有趣的命題，實開千古科學演繹法之先河，直接影響到以后牛頓力學體系。牛頓利用三個基本定律來推導天體的運行，其中邏輯運用之妙。無與倫比。

邏輯運用，是很重要的事情，這也是整個中國科學發展缺少的一部分，西方從希臘數學家就開始了。歐幾里得其實用了柏拉圖的學生亞里士多德發明的三段論證法。三段論證有大前提、小前提、結論。看起來簡單，可是學生很少明白，中國的科學也很少用。

歐幾里得就是通過歸納法。發現平面幾何上有五條顯而易見的性質。舉例來講，兩點可以用一條直線連起來等種種不同方法，歸納出五條公理，并根據這個公理推導出平面幾何所有的定理。這是一個漂亮偉大的貢獻。

第5條公理叫平行公理，在直線外任何一點，必有唯一的直線通過這點而不與原來的直線相交，就是一個平行線。我們都學過這個公理，很多人現在認為可以接受。可是差不多有20世紀。哲學家都不大愿意接受這條公理，他們企圖用其他四條公理去證明。都沒有辦法成功。到19世紀初期，算術幾何的面世，才發現平行公理是不能用其他四條公理證明的。

高斯、黎曼、傅里葉

因此，我們又產生了一個新的幾何——算術幾何。算術幾何跟平面幾何不大一樣。平行公理最重要的是影響到算術幾何的誕生，也影響到幾何學對空間觀念的完全改變。

算術幾何以后，通過兩個偉大的幾何學家——高斯與黎曼，對空間的觀念開始完全改變。空間不再是歐式幾何那樣簡單的一個空間，而是能夠變動、能夠影響我們天天看到的物理現象有關的空間。由于平行公理的變化，從平行移動的觀念引出了內對稱的觀念。進而影響到高等物理粒子的變化。內對稱主宰一切已知粒子的變化，著名的物理學家楊振寧先生的理論就是要從內對稱演繹的。近代數學開始影響近代物理學的發展。

19世紀偉大的法國數學家傅里葉，他講數學可以用來決定最一般的規律。同時也可以量度時間、空間、溫度，所以他講數學跟大自然一樣廣泛、豐富，和大自然走的是相同的軌道，也共同見證著宇宙的包容、簡潔、穩定。

以簡制繁的觀念也影響到藝術的發展。大部分學者認為統御自然界的共通原理必須簡潔，從牛頓、到愛因斯坦、到笛卡爾、到楊振寧，都是這樣的看法。所以，描述自然界的繪畫，或者表露心靈與自然界交接的詩篇與頌詞亦必如此。這種觀念，我認為起源于希臘的基本精神。幾何之源——古希臘“調和”之精神

調和的思想貫穿了古代數學到近代欺學的發展。數學的美，使我們與大自然更為接近，大自然的姜開闊了我們的胸襟，加深了我們的視野。

下面講講古希臘人的精神，也是從我父親的一本書里所引。英國一個出名的作者叫狄更遜，在其所著《希臘人的人生觀》中說：調和喲！就在這一詞的意義上，我們可以解說希臘文明的主要觀念。

希臘人視美與善、身與心、個人與國家、神與人為調和統一的。

1.美與善之調和

柏拉圖在《理想國》中講：“美術家能洞鑒美與善之真性，發揮之于技術，使吾伎之青年，身之所居，目之所見，耳之所聞，無一而非善，而善之真際，即同時流露于其身目，有如清風之來自蓬萊，人之靈魂與同情之美，于不知不覺之間。”

2.身與心之調和

希臘大政治家伯里克理斯講：“我們是美之愛好者，但我們的趣味是淡雅的，我們陶冶心靈，但我們也不失卻丈夫氣。”

柏拉圖在《理想國》中以體育和音樂為教育之基。前者是養身，后者是修心，可見注重身心調和。

3.個人與國家的調和

亞里士多德說：“國家系相同的人們，求達可能的最善生活的一種組合。”所以希臘人絕不能逃避對國家應盡的義務，但也要個人的自由，個人與國家在一定分限上調和無間。

4.神與人的調和

希臘人認為神是美麗而人性的生物。男神是雄偉的美男子，女神是純潔的美女子。你可以講它是宗教，其實不是宗教，這是希臘人的理想，假借眾神來表現。

調和的思想貫穿了古代數學到近代數學的發展。數學的美，使我們與大自然更為接近，大自然的美開闊了我們的胸襟，加深了我們的視野。也正由于這個原因。從宇宙的起源、星球的運行、原子的結構。一直到山水人物的繪畫都有許多幾何學家參與其中，進行研究，作出了基本的貢獻。

遠古的時候，無論埃及人、巴比倫人、印度人和中國人都對歷法有濃厚的興趣。這些關于星體運行的學問，自然牽涉到幾何學。事實上。古希臘人早已知道如何量度地球的半徑和地球到太陽的距離。

古代中國人對地圖的制作有重要貢獻。劉安在《淮南子》中也討論了如何計算地日的距離，可見古人一方面好奇，一方面由實際需要來發展幾何，傳說中國同余定理的發現始于歷法的計算。

而希臘天文學家西帕恰斯發明正弦的概念來測量星體的運行；托勒密則造弦表，以后阿拉伯和印度數學家將三角發展出來，可見天文學對數學的影響。

現在回頭再講數學、幾何學，從古希臘想法發展出來的結果，對畢達哥拉斯學派來講，萬物皆數，第一個他發現音樂可以用數字來解釋，這個學問表面上跟幾何學毫無關系，但到19世紀，傅里葉對波動力學開始研究后，譜分析逐漸在幾何學生根，任何一個圖形都有它的譜，這些譜的研究已經成為幾何學的主流。

是怎么產生的呢？舉一個例子來講。我們設想幾何圖形由一片薄膜做成，比如鼓，可以是用任何幾何圖形做成的鼓，擊打這個鼓，會發出不同的聲音，這個聲音用譜來分析，可以推測鼓的形狀，這是一個重要的問題。也可以看出幾何與音樂的關系，從幾何圖形產生的音樂，我們可以推導出幾何圖形是怎樣的。

音樂的美由耳朵來感受。幾何的美由眼睛來感受。美麗的音樂與圖形都有調和的意義，這是剛才希臘人的調和之意。這種調和的意思可以用數學來定義，舉個例子，我們固定兩端的琴弦，彈奏時會形成很多不同的波，這些波由基本的正弦函數組成，這是個很漂亮的函數，有調和的意思在里邊。

什么叫調和函數？它定義于空間，并滿足于一個重要性質，即它在每個點上的值等于它在環繞這點上球的平均值。這些函數有著“中道”的性質，這與希臘哲學中所追求的中道和儒家的中庸有著共同的意思。

函數跟我們講的基本波有很多共同的東西。擊鼓時，鼓的振動由基本波組成，這些基本波的描述與上述的調和函數極為相似，也許這就是音樂和美術有共通之處的原因。

有趣的是，這些基本波都有物理意義。這些波都有能量，在一定的條件下，音樂的基本波具有最少的能量。這是物理和幾何學中基本的原則：物質的狀態。總是在具有最低能量時最穩定。這是個基本的看法，影響了物理學、幾何學、數學幾百年。

我們喜歡最低能量的狀態，正如一般人所講“水向低流”，因為向下流它的位能是最低的。在社會給定的條件下，人的欲望達到最低時可說是“至善”的一個判斷防范，所以清心寡欲是一個調和的概念，因此美與善可以調和，數學家喜歡平靜與天真。我的老師陳省身如此，20世紀偉大的法國幾何學家E.carton也說：“在聽數學大師演說數學時。我感到一片平靜和純真的喜悅。這種感覺大概就如貝多芬在作曲時讓音樂在他靈魂深處表現出來一樣。”

幾何學里還有一個重要的概念就是對稱，對稱的概念影響了數學幾百年，也影響到整個物理學界幾百年。對稱是調和觀念的另一種表現，希臘人喜歡柏拉圖多面體，就是因為他們具有極好的對稱性，他們甚至將其與宇宙的五個元素聯系起來：火——正四面體；土——正六面體；氣——正八面體；水——正十二面體；正十二面體代表第五元素。是宇宙的基本要素。

這種解釋大自然的方法雖然并不成功。但是對稱的觀念卻由始至終地左右著物理學的發展，并終于演化成群的觀念，對稱群成為現代幾何與現代物理的支柱。

近30年來，所謂鏡對稱的概念出現在描述宇宙結構的弦論中，至大的空間和至小的空間，至強的理論與至弱的理論有著相同的結構。在對偶理論里，大的空間跟最小的空間，是對偶，互相影響對方；強的理論跟弱的理論也有相同的對偶性，這是一個很奇怪的現象，在數學上是可以證明的，只是到目前為止還沒辦法證明。假如弦論能由試驗證明。道家的陰陽或可由數學觀念來解釋。

古希臘人崇拜雄偉的男神與美麗的女神，也可以看做是剛柔的對偶，剛柔互濟，發展出來的幾何學也是多姿多彩的。文藝復興的時候，很多藝術家想將景物有深度感覺地表現在畫布上，他們發覺這個問題與射影幾何有很重要的關系。

布魯涅內斯基得到一些成果，在研究透視學上，非阿爾貝蒂寫了兩本書，研究不同的屏幕映像的關系。圓錐截痕跟對偶原則得到更深入的研究，由此可見繪畫藝術對幾何的影響。

投影幾何對整個數學有很大的影響。奧斯幾何跟很多幾何研究距離、長度的問題，到了投影幾何，我們不研究距離，因為將一個三維的圖投射到二維花布上時，量不出其長度，而開始研究線和線的相交或線和面的相交，對偶觀念由此產生。投影幾何在十九世紀成為主流的學問。

普林斯頓高等研究所。我曾經在那里教過5年書，愛因斯坦也曾在那里工作過30年。它的徽章是真和美，左手是裸體的女神，右手邊是穿著衣服的女神。“真”是一個赤裸裸的女神；“美”是漂亮的、穿著衣服的女神。無論文學家、美術家、音樂家、數學家、物理學家都在不斷發掘美的意義，和如何去表達大自然眾生誘導出的美，這是很重要的事情。

用崇高的思想學習真美

未經烈火的煎熬，沒有辦法完成大學問。

現在我來談談體育，無論希臘哲學也好，儒家哲學也好，都很注重體魄的訓練。亞里士多德認為希臘人要有超卓的意志，意旨希臘人昂昂然若千里之駒，自視甚尊，憐人而不為人憐，奴人而不為人奴。正如孟子所謂“富貴不能淫，貧賤不能移。威武不能屈”。

其實任何有深度的學問都有其本質所在，數千年累積下來的學問就是我們的體魄，沒有這個實質，就沒有辦法創新，就沒有辦法尋找新的空間，就沒有辦法離開古人的范疇。這是我自己的看法。很多人講，做數學是一個天才的活動，可是數千年來，偉大的天才數學家至少有兩三百，他們累積下來的學問是很有意義的，我們不能夠超越他們，因為我們的腦袋不大可能超越幾百個天才累積下來的經驗，所以我們一定要想辦法了解前人的思想，才能夠向前走，才能夠昌盛。我們能夠培養我們的美，也一定要有學習的能力，能夠學習前人做過的事情。

所以屈原說，紛吾既有此內美兮。又重之以修能。

賈誼說，夫天地為爐兮，造化為工；陰陽為炭兮，萬物為銅。

未經烈火的煎熬。沒有辦法完成大學問。

我們很多同學以為自己是天才。以為自己很有本領，不用念書，不用看書，就能夠完成很好的學問。你可能考試比人家好，可是要做大學問是不可能的事。我們看了很多大學生，到了做研究生的時候，遇到很大的問題，就是因為他沒有好好學，自以為是天才。

我在國外40多年，接觸了很多偉大的數學家，偉大的物理學家，我不認為有任何一個是天才，他們都是經過很大的努力才完成的工作。

縱觀古今。大部分數學家主要貢獻都在年輕時代，這與年輕人有良好的體魄有關。有了良好的體魄。在解決問題的時候，才能夠集中精神，尤其是你們這個年紀，才能夠做大的學問，因為有良好的體力，能夠持久集中精力解決問題。

我解決的很多相當重要的問題，往往是經過5到10年才能夠完成，假如沒有辦法集中精神。是沒有辦法解決的。要經得起這樣的煎熬，一定要有好的體力，也必須要有濃厚的熱情。正如《荷馬史詩》里所描述的英雄，不怕艱苦，勇往直前；如玄奘西行，有著無比的毅力，能夠大漠獨自堅持一個多月：這都是靠無比的毅力和無比的熱情，才能夠完成的大事業。

希臘學問極盛時代，一般學者都有充分的時間去思考、去辯論。政府與學者也有極好的調和精神，學者能夠以自由的意志、獨立的精神去追求自己的理想。歷史上在窮困中掙扎能否成功的，畢竟是極少數。

所以，曹丕典論論文：“貧賤則懾于饑寒，富貴則流于逸樂，遂營目前之務，而遺千載之功。”何時我們才能不受生活的影響，在學問的領域里成為雄偉的丈夫、潔美的女神？

我父親的書上有一句《文心雕龍》里的一句話：“嗟夫！身與時舛，志共道申，標心于萬古之上，而送懷于千載之下。”

今天講這些，就是希望我們年輕人能夠有崇高的思想來學習美真的想法。

摘自鳳凰《大學問》