基于最優(yōu)停止方法的可續(xù)期債券定價(jià)模型

宋曉天 周笑言

【摘要】武漢地鐵集團(tuán)有限公司于2013年10月發(fā)行了我國(guó)第一只可續(xù)期債券，開創(chuàng)了我國(guó)可續(xù)期債券的先河，大批可續(xù)期債券將會(huì)相繼進(jìn)入中國(guó)債券市場(chǎng)，如何合理地給可續(xù)期債券定價(jià)因此變得越發(fā)重要。本文通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃中最優(yōu)停止的方法，以13武漢地鐵可續(xù)期債券為例，對(duì)可續(xù)期債券的定價(jià)進(jìn)行了討論，并通過隨機(jī)微積分的方法給出了可續(xù)期債券價(jià)值的顯示解。同時(shí)，將13武漢地鐵可續(xù)期債券的條款代入，算出了13武漢地鐵可續(xù)期債券的實(shí)際價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】可續(xù)期債券 債券定價(jià)

一、背景

可續(xù)期債券，在國(guó)外又稱為永續(xù)債（perpetual bond），是指沒有到期日的債券，發(fā)行人只須持續(xù)償付利息而永遠(yuǎn)毋須還本。可續(xù)期債券在國(guó)外起步較早，已經(jīng)發(fā)展成了一個(gè)比較成熟的債券種類，截止到2014年3月20日，全球已發(fā)行可續(xù)期債券總量為3804只，總額達(dá)1.23萬億美元。武漢地鐵集團(tuán)有限公司于2013年10月發(fā)行了我國(guó)第一只可續(xù)期債券（以下簡(jiǎn)稱13武漢地鐵），開創(chuàng)了我國(guó)可續(xù)期債券的先河，大批可續(xù)期債券將會(huì)相繼進(jìn)入中國(guó)債券市場(chǎng)，如何合理地給可續(xù)期債券定價(jià)因此變得越發(fā)重要。

無權(quán)可續(xù)期債券的定價(jià)較為簡(jiǎn)單，將永久期限年金折現(xiàn)加總即可。13武漢地鐵屬于特殊含權(quán)類型的可續(xù)期債券，在該期債券每5個(gè)計(jì)息年度末，發(fā)行人有權(quán)選擇將本期債券期限延續(xù)5年，或選擇在該計(jì)息年度末到期全額兌付本期債券。13武漢地鐵采用浮動(dòng)利率形式，利率由基準(zhǔn)利率加上基本利差確定。基準(zhǔn)利率每5年確定一次。首次基準(zhǔn)利率為發(fā)行公告日前1250個(gè)工作日的一周上海銀行間同業(yè)拆放利率（Shibor）的算術(shù)平均數(shù)（四舍五入保留兩位小數(shù)），其后每5年的基準(zhǔn)利率為在該5年計(jì)息周期起息日前1250個(gè)工作日的一周上海銀行間同業(yè)拆放利率的算術(shù)平均數(shù)（四舍五入保留兩位小數(shù)）。

二、問題分析

國(guó)外對(duì)于含權(quán)公司債的定價(jià)主要基于1973年Black & Scholes提出的無套利歐式期權(quán)定價(jià)模型，Merton在1974年首先將這一模型用于公司債的定價(jià)。但是這類定價(jià)模型并不適用于含權(quán)可續(xù)期債券，以13武漢地鐵為例，13武漢地鐵償還機(jī)制的特殊性在于以下兩點(diǎn)：

一是13武漢地鐵可續(xù)期債券的期限是無限的。

二是13武漢地鐵可續(xù)期債券在無限期限內(nèi)賦予發(fā)行人無限次選擇權(quán)（每五年一次），因此不可能用單次選擇權(quán)的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型對(duì)其定價(jià)。

考慮到前一次選擇權(quán)與后一次選擇權(quán)之間的動(dòng)態(tài)權(quán)衡，我們可以把13武漢地鐵可續(xù)期債券的定價(jià)看成動(dòng)態(tài)規(guī)劃中帶有不確定性的最優(yōu)停止問題。

三、模型假設(shè)與構(gòu)建

其中，13武漢地鐵第一個(gè)五年期利率為8.50%，基準(zhǔn)利率St為2.89%，利差為5.61%。y代表債券的到期收益率，這里我們選取同期銀行間市場(chǎng)五年期AA+企業(yè)債的到期收益率，2013年10月29日銀行間市場(chǎng)五年期AA+企業(yè)債的到期收益率為6.1376%。V（St+5）表示第一個(gè)五年期末選擇權(quán)對(duì)于投資者的價(jià)值，是當(dāng)時(shí)基準(zhǔn)利率St+5的值函數(shù)。即債券現(xiàn)值等于前五年利息折現(xiàn)值的加總加上第一個(gè)五年期末選擇權(quán)價(jià)值期望的折現(xiàn)值。

在2018年10月29日，即第一個(gè)五年期末，發(fā)行人將面臨第一次選擇權(quán)，就每一單位債券而言，發(fā)行人可以選擇支付本金100元，或者以新的利率繼續(xù)支付五年利息，然后再執(zhí)行第二個(gè)五年期末的選擇權(quán)，在第二個(gè)五年期末，發(fā)行人重復(fù)以上問題，依次向后類推。發(fā)行人將在兩種支付選擇中選擇價(jià)值更小的那個(gè)。在第一個(gè)五年期末，選擇權(quán)對(duì)于投資者的價(jià)值函數(shù)V（St+5）與下一個(gè)五年期末的選擇權(quán)價(jià)值函數(shù)滿足以下動(dòng)態(tài)關(guān)系：

四、模型求解

五、模型討論

（一）上述定價(jià)模型并沒有考慮可續(xù)期債券違約風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于債券價(jià)值的影響

13武漢地鐵屬于企業(yè)債，在中國(guó)企業(yè)債信用接近政府信用，信用相對(duì)較高。截止到2014年3月20日，中國(guó)內(nèi)地還沒有出現(xiàn)企業(yè)債違約的情況。因此，我們?cè)谀Ｐ椭锌梢越坪雎赃`約風(fēng)險(xiǎn)對(duì)債券價(jià)值的影響。

（二）從模型結(jié)果可以看出，13武漢地鐵可續(xù)期債券的現(xiàn)值要低于其票面價(jià)值

原因可以歸咎于我們前邊一個(gè)很重要的假設(shè)，我們假設(shè)每日一周shibor服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并用此來模擬基準(zhǔn)利率的走勢(shì)。而基準(zhǔn)利率是由起息日前1250天的平均值決定的，其波動(dòng)率要遠(yuǎn)低于每日一周shibor的波動(dòng)率。所以與模型結(jié)果相比，真實(shí)的債券價(jià)值要在模型結(jié)果的基礎(chǔ)上給予投資者一定的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。即真實(shí)的債券價(jià)值要高于模型結(jié)果91.40元。

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