基于最優停止方法的可續期債券定價模型

宋曉天 周笑言

【摘要】武漢地鐵集團有限公司于2013年10月發行了我國第一只可續期債券，開創了我國可續期債券的先河，大批可續期債券將會相繼進入中國債券市場，如何合理地給可續期債券定價因此變得越發重要。本文通過動態規劃中最優停止的方法，以13武漢地鐵可續期債券為例，對可續期債券的定價進行了討論，并通過隨機微積分的方法給出了可續期債券價值的顯示解。同時，將13武漢地鐵可續期債券的條款代入，算出了13武漢地鐵可續期債券的實際價值。

【關鍵詞】可續期債券 債券定價

一、背景

可續期債券，在國外又稱為永續債（perpetual bond），是指沒有到期日的債券，發行人只須持續償付利息而永遠毋須還本。可續期債券在國外起步較早，已經發展成了一個比較成熟的債券種類，截止到2014年3月20日，全球已發行可續期債券總量為3804只，總額達1.23萬億美元。武漢地鐵集團有限公司于2013年10月發行了我國第一只可續期債券（以下簡稱13武漢地鐵），開創了我國可續期債券的先河，大批可續期債券將會相繼進入中國債券市場，如何合理地給可續期債券定價因此變得越發重要。

無權可續期債券的定價較為簡單，將永久期限年金折現加總即可。13武漢地鐵屬于特殊含權類型的可續期債券，在該期債券每5個計息年度末，發行人有權選擇將本期債券期限延續5年，或選擇在該計息年度末到期全額兌付本期債券。13武漢地鐵采用浮動利率形式，利率由基準利率加上基本利差確定。基準利率每5年確定一次。首次基準利率為發行公告日前1250個工作日的一周上海銀行間同業拆放利率（Shibor）的算術平均數（四舍五入保留兩位小數），其后每5年的基準利率為在該5年計息周期起息日前1250個工作日的一周上海銀行間同業拆放利率的算術平均數（四舍五入保留兩位小數）。

二、問題分析

國外對于含權公司債的定價主要基于1973年Black & Scholes提出的無套利歐式期權定價模型，Merton在1974年首先將這一模型用于公司債的定價。但是這類定價模型并不適用于含權可續期債券，以13武漢地鐵為例，13武漢地鐵償還機制的特殊性在于以下兩點：

一是13武漢地鐵可續期債券的期限是無限的。

二是13武漢地鐵可續期債券在無限期限內賦予發行人無限次選擇權（每五年一次），因此不可能用單次選擇權的Black-Scholes期權定價模型對其定價。

考慮到前一次選擇權與后一次選擇權之間的動態權衡，我們可以把13武漢地鐵可續期債券的定價看成動態規劃中帶有不確定性的最優停止問題。

三、模型假設與構建

其中，13武漢地鐵第一個五年期利率為8.50%，基準利率St為2.89%，利差為5.61%。y代表債券的到期收益率，這里我們選取同期銀行間市場五年期AA+企業債的到期收益率，2013年10月29日銀行間市場五年期AA+企業債的到期收益率為6.1376%。V（St+5）表示第一個五年期末選擇權對于投資者的價值，是當時基準利率St+5的值函數。即債券現值等于前五年利息折現值的加總加上第一個五年期末選擇權價值期望的折現值。

在2018年10月29日，即第一個五年期末，發行人將面臨第一次選擇權，就每一單位債券而言，發行人可以選擇支付本金100元，或者以新的利率繼續支付五年利息，然后再執行第二個五年期末的選擇權，在第二個五年期末，發行人重復以上問題，依次向后類推。發行人將在兩種支付選擇中選擇價值更小的那個。在第一個五年期末，選擇權對于投資者的價值函數V（St+5）與下一個五年期末的選擇權價值函數滿足以下動態關系：

四、模型求解

五、模型討論

（一）上述定價模型并沒有考慮可續期債券違約風險對于債券價值的影響

13武漢地鐵屬于企業債，在中國企業債信用接近政府信用，信用相對較高。截止到2014年3月20日，中國內地還沒有出現企業債違約的情況。因此，我們在模型中可以近似忽略違約風險對債券價值的影響。

（二）從模型結果可以看出，13武漢地鐵可續期債券的現值要低于其票面價值

原因可以歸咎于我們前邊一個很重要的假設，我們假設每日一周shibor服從幾何布朗運動，并用此來模擬基準利率的走勢。而基準利率是由起息日前1250天的平均值決定的，其波動率要遠低于每日一周shibor的波動率。所以與模型結果相比，真實的債券價值要在模型結果的基礎上給予投資者一定的風險補償。即真實的債券價值要高于模型結果91.40元。

參考文獻

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